Höhe eines Kegelstumpfes (volumenabhänigig)

Question

Aufgabe:

Ich habe einen See, mit einem Fassungsvermögen von 215e6 m³ und einer Oberfläche von 10km² . Dieser soll, auf Grundhöhe, durch einen 2 m² großen Auslass, abgelassen werden. Die Form des Sees lässt sich durch einen umgedrehten Kegel beschreiben.

1.1) Wie Tief ist der See (in Meter)?

1.2) Schreiben Sie eine Funktion, die die Tiefe des Sees (in Metern) allgemein abhängig von der enthaltenen Wassermenge bestimmt.

Problem/Ansatz:

1.1) ich habe mit einem Kegelstumpf gerechnet:

h = V*3/π*(r_g²+r_g*r_d+r_d²)

Radius Oberfläche: r_o = \( \sqrt{10000000/π} \)

Radius Auslass: r_a = \( \sqrt{2/π} \) 

h = (215000000*3)/(π*(r_o² + r_o * r_a + r_a² ))

h = 64,5 m - müsste passen

1.2) Hier stehe ich leider komplett auf dem Schlauch. Mit sich veränderndem Volumen, müssten sich r_o auch verändern. Ich finde jedoch kein Zusammenhang der beiden Größen.

Über Anregungen hierzu bin ich sehr dankbar.

Danke im Voraus - Leso

Answer 1

1.1) Wie Tief ist der See (in Meter)?

V = 1/3 * G * h

h = 3 * V / G = 3 * (215000000 m³) / (10000000 m²) = 64.5 m

Das passt so. Du hast nur etwas umständlicher gerechnet.

Comments

Danke für die Antwort. Hast du auch eine Idee zu 1.2)?

---

Ja.

1.2) Schreiben Sie eine Funktion, die die Tiefe des Sees (in Metern) allgemein abhängig von der enthaltenen Wassermenge bestimmt.

Das Volumen ändert sich kubisch zur Höhe. Weil sich Höhe und Radius mit dem gleichen Faktor ändern. Oder die Höhe ändert sich mit der dritten Wurzel aus dem Volumen.

h(V) = 64.5·(V / 215000000)^(1/3)

---

Das macht Sinn, vielen Dank :D