falsches Ergebnis / Kontrolle erforderlich

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen \( A \) und \( \boldsymbol{B} \) her. Die herstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion
\( q=f\left(x_{1}, x_{2}\right)=e^{0.4 x_{1}+0.3 x_{2}+0.35 x_{1} x_{2}} \)
Dabei bezeichnen \( x_{1} \) und \( x_{2} \) die eingesetzten Mengen der Rohstoffe \( A \) und \( B \) und \( q=f\left(x_{1}, x_{2}\right) \) die hergestellte Menge des Produkts. Zurzeit stehen 1.1 Tonnen des Rohstoffs \( A \) und \( 1.4 \) Tonnen des Rohstoffs \( B \) zur Verfügung. Es besteht die Möglichkeit, die

Zulieferung des Rohstoffs \( A \) um \( 0.6 \) Tonnen zu steigern, während die Zulieferungen des

Rohstoffes \( B \) in Zukunft um 1.3 Tonnen sinken werden.

Wie wird sich die marginale Produktion durch die veränderten Zulieferungen verändern?
\( -1.78 \)

Problem/Ansatz

Bin auf mein Ergebnis gekommen in dem ich die partiellen Ableitungen gebildet habe und die jeweiligen Werte einsetzte (1,1/1,4). Dann hab ich f’1 x 0,6 + f’2 x (-1,3) gerechnet. Was stimmt daran nicht?

Answer 1

Also dein Ansatz stimmt. Ich bekomme jedoch etwas leicht anderes heraus

f'(1.1, 1.4)·[0.6, -1.3] = -1.444

Vielleicht schreibst du mal deine partiellen Ableitungen auf.

Answer 2

Aloha :)

Aus der Aufgabenstellung entnehmen wir:$$f(x;y)=e^{0,4x+0,3y+0,35xy}\quad;\quad(x_0|y_0)=(1,1|1,4)\quad;\quad(\Delta x|\Delta y)=(0,6|-1,3)$$Die marginale Änderung bestimmen wir mit dem totalen Differential:$$df(x;y)=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy=(0,35y+0,4)\cdot f(x;y)\,dx+(0,35x+0,3)\cdot f(x;y)\,dy$$

Speziell an der Stelle \((x_0|y_0)\) lautet dieses:$$df(1,1;1,4)=3,60552\,dx+2,77504\,dy$$

Damit erwarten wir als marginale Änderung:$$\Delta f=3,60552\cdot0,6+2,77504\cdot(-1,3)=-1,44424$$