Kann etwas ein Halbgruppenisomorphismus sein, obwohl es kein Halbgruppenhomomorphismus ist?

Question

Aufgabe:

Wir betrachten auf der Menge {0, 1} von Wahrheitswerten die folgenden beiden Halbgruppen:
• ({0, 1}, ∧), wobei ∧ das logische UND (die Konjunktion) darstellt und
• ({0, 1}, ∨), wobei ∨ das logische ODER (die Disjunktion) darstellt.
Ist die Funktion f : {0, 1} → {0, 1} mit f(x) = x ein Halbgruppenhomomorphismus von
({0, 1}, ∧) nach ({0, 1}, ∨)? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Mir ist es klar dass es kein Halbgruppenhomomorphismus ist. Meine Frage ist, es kann auch kein Halbgruppenisomorphismus sein, wenn man zum Beispiel versucht von der Konjunktion die 1 auf die 0 abzubilden?

Text erkannt:

\begin{tabular}{l|llll|ll}
\hline 1 & 0 & 1 & & \( V \) & 0 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{tabular}
\( \underset{0 \rightarrow 1}{1 \rightarrow} 0 \)
\( A\left(\begin{array}{lll}1 & 0_{1}\end{array}\right) \quad f(1) 0_{2} f(1)^{4} \)
\( f(1) \simeq 0 \vee 0 \)

Answer 1

Ein Halbgruppenisomorphismus ist per Definition ein bijektiver

Halbgruppenhomomorphismus, dessen Umkehrabbildung ebenfalls

ein Halbgruppenhomomorphismus ist.

Comments

Danke vielmals. Nur dass ich es richtig verstanden habe: Das heisst ein Halbgruppenisomorphismus ist ein Halbgruppenhomomorphismus von A nach B und muss auch ein Halbgruppenhomomorphismus von B nach A sein. Daher ist es wirklich so, dass diese Abbildung von oben kein Halbgruppenisomorphismus ist.

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Das heisst ein Halbgruppenisomorphismus ist ein Halbgruppenhomomorphismus von A nach B und muss auch ein Halbgruppenhomomorphismus von B nach A sein.

Nein, die Umkehrabbildung (existiert da bijektiv) ist ein Homomorphismus von B nach A. Nicht der Homomorphismus selbst. Der geht ja von A nach B.

Die Abb die 0 auf 0 und 1 auf 1 schickt ist somit kein Isomorphismus

Die die 0 auf 1 und 1 auf 0 schickt kannst du ja mal prüfen

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und muss auch ein Halbgruppenhomomorphismus von B nach A sein.

Um genau zu sein:

 \(f:A\rightarrow B\) ist ein Halbgruppeniso., wenn \(f\) ein Halbgruppenhomom.

ist und es einen Halbgruppenhomom. \(g:B\rightarrow A\) gibt,

so dass \(f\circ g=id_B\) und \(g\circ f=id_A\) ist.

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Aber das ist ja hier genau nicht der Fall, f ist ja kein Halbgruppenhomomorphismus. Wenn ich die 0 auf die 1 abbilde und die 1 auf die 0 dann funktioniert es oder?

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In der Tat: definieren wir \(f(x)=\lnot x\), so bekommen wir

\(f(x\wedge y)=\lnot(x\wedge y)\stackrel{\text{DeMorgan}}{=}\lnot x\vee \lnot y=f(x)\vee f(y)\).