Untersuchen Sie rechnerisch mit Hilfe der 1. Ableitung, wo die Funktion streng monoton fallend/steigend ist.

Question

Aufgabe:

Mit Hilfe der 1 Ableitung überprüfen wo die Funktion smf oder sms ist

Problem/Ansatz:

Denke es ist richtig bin mir aber nicht sicher

F(x)=1/9x^3-3x

F‘(x)=1/3x^2-3

F‘‘(x)=2/3x

Ich habe erstmal die möglichen Extremstellen mit der 1 Ableitung berechnet und x=3 als Ergebnis raus

Danach habe ich 3 in die 2 Ableitung eingesetzt und erfahre, dass es ein TP ist da 2 rauskommt und 2>0 ist

Dann habe ich 3 in die Ausgangsfunktion eingesetzt und den y wert rausbekommen, nämlich-6 also ist der TP(3|-6)

Dann habe ich die Monotonieintervalle so aufgeschrieben:

)-unendlich,3) Streng monoton fallend

(3,+unendlich( streng monoton steigend

Ich bin mir nicht sicher über die Ergebnisse und würde mich freuen wenn jemand das nachrechnen könnte :)

Answer 1

Aloha :)

Du benötigst alleine die erste Ableitung. Wenn \(f'(x)>0\) ist, steigt die Funktion streng monoton, wenn \(f'(x)<0\) ist, fällt die Funktion streng monoton:$$F(x)=\frac19x^3-3x\implies F'(x)=\frac13x^2-3=\frac13(x^2-9)=\frac13(x+3)(x-3)$$

Wir unterscheiden nun 3 Fälle:

1. Fall: \(x<-3\qquad\!\quad\implies\quad F'(x)=\frac13\underbrace{(x+3)}_{<0}\cdot\underbrace{(x-3)}_{<0}>0\quad\implies\quad\text{s.m.s}\)

2. Fall: \(-3<x<3\quad\implies\quad F'(x)=\frac13\underbrace{(x+3)}_{>0}\cdot\underbrace{(x-3)}_{<0}<0\quad\implies\quad\text{s.m.f}\)

3. Fall: \(x>3\qquad\!\!\qquad\implies\quad F'(x)=\frac13\underbrace{(x+3)}_{>0}\cdot\underbrace{(x-3)}_{>0}>0\quad\implies\quad\text{s.m.s}\)

An den Übergangsstellen \(x=\pm3\) ist \(F'(x)=0\), dort wechselt die Funktion ihr Steigungsverhalten.

~plot~ 1/9x^3-3x ; [[-6|6|-7|8]] ; {-3|6} ; {3|-6} ~plot~

Answer 2

Wenn du die erste Ableitung gleich null setzt, achte darauf, dass eine quadratische Gleichung 2 Nullstellen haben kann.

f'(x) = 1/3·x^2 - 3 = 0
1/3·x^2 = 3
x^2 = 9
x = ± 3

Jetzt kannst du mit der zweiten Ableitung auf Art des Maximums prüfen

f''(x) = 2/3·x

f''(-3) < 0 → Hochpunkt

f''(3) > 0 → Tiefpunkt

Also

Im Intervall ]-∞ ; -3] streng monoton steigend.

Im Intervall [-3 ; 3] streng monoton fallend.

Im Intervall [3 ; ∞[ streng monoton fallend.