A unimodular <==> gcd der Einträge = 1

Question

Aufgabe:

Es sei h : Zⁿ → Z^m ein ℤ-Modul-Homomorphismus, und es sei A = ((a_i,j ))_n
i,j=1 ∈K[X]^n×n.
Zeigen oder widerlegen Sie:

a) Z^m/ im h ist torsionsfrei.
b) Zⁿ/ ker h ist torsionsfrei.
c) Wenn A unimodular ist, dann gilt gcd(a_i,1, . . . , a_i,n) = 1 für alle i = 1, . . . , n.
d) Wenn gcd(a_i,1, . . . , a_i,n) = 1 für alle i = 1, . . . , n gilt, dann ist A unimodular.

Problem/Ansatz:

Für a) und b) habe ich jeweils ein Gegenbeispiel. Sei n=2 und m=3 und h(x,y)=(x,y,x+y) als Abbildung und das Std. Skalarprodukt als Verknüpfung, dann sind (2,1,-1) ,(1,1,3)∈Z^m/im h, aber (1,1,3)*(2,1,-1)=2+1-3=0 also gibt es torsion.

Es ist ker(h)={0} also sind (1,1),(1,-1)∈Z²/kerh mit (1,1)*(1,-1)=1-1=0, also gibt es auch bei b) torsion.

Aber für c) und d) fehlt mir ein Ansatz. Meine Vermutung wäre dass eine der beiden gilt aber die Umkehrung dann nicht.

Stimmt das bei a) und b) soweit und wie zeige oder wiederlege ich c), d)?

gcd: greatest common Divisor, also ggT falls unklar.