Wir Mengen im Vektorraum finden

Question

Aufgabe:

V = { \( \begin{pmatrix} v1\\v2\\v3 \end{pmatrix} \) ∈ \( ℝ^{3} \) | v1 + v3 = 2 }

Welche Teilmengen im Vektorraum im \( ℝ^{3} \) sind unterräume?

Problem/Ansatz:

… Wie finde ich diese Teilmengen heraus

Answer 1

Aloha :)

Wegen der Forderung \((v_1+v_3=2)\) gilt \((v_3=2-v_1)\) und du kannst alle Vektoren aus \(V\) konkret hinschreiben:$$\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\2-v_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+v_1\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+v_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$

Das ist eine Ebene mit Ankerpunkt \((0|0|2)\) und den beiden genannten Richtungsvektoren.

Diese Ebene stellt jedoch keinen Unterraum dar, weil in einem Unterraum der Nullvektor enthalten sein muss. Mit \(v_1=0\) und \(v_2=0\) ergibt sich aber zwingend \(v_3=2\). Der Nullvektor liegt also nicht in \(V\).

Answer 2

Hallo

die Teilmenge (r,s,2-r) mit r,s in ℝ oder Span {(r,0,2-r),(0,s,0)}

aber "Welche Teilmengen im Vektorraum im \( ℝ^{3} \) sind unterräume? kann die Frage nicht wirklich lauten!

lul