Welche Mengen sind Untervektorräume der angegebenen Vektorraum?

Question

1) { (μ,λ):μ+λ=1}⊂ ℝ²

^{2) {f∈Abb(ℝ,ℝ): f(-x)=-f(x) , für alle x∈ℝ} ⊂ Abb(ℝ,ℝ)}

^{3) {A ∈ Mat(mxn ; K): A ist in Zeilenstufenform} ⊂ Mat(mxn; ℝ)}

Answer 1

a) ist kein Unterraum, weil
z.B.   (1;0) in der Menge und (0;1) in der Menge, aber
(1;0) + (0;1) = (1;1) nicht darin.
Im Unterraum muss aber zu je zwei Elementen auch
ihre Summe drin sein.

b) ist ein Unterraum U, denn:
Seien f und g aus U dann gilt f(-x)=-f(x) und g(-x)=-g(x) für alle x aus IR.

Dann ist auch f+g aus U, weil  (f+g)(-x) = f(-x) + g(-x)
                            = -f(x)  +  (-g(x))   (laut Vor. f und g aus U)
                           = -( f+g)(x)
und auch für f aus U ist k*f aus U  (Beweis ähnlich wie bei +)
und es ist die 0 aus U und zu jedem f aus U auch -f aus U
                                                                     q.e.d.

c) Auch hier musst duüberlegen ob die Summe solcher Matrizen
wieder in Zeilenstufenform ist.
Für k*Matrix ist es ja klar.
und die 0 Matrix ist in Zeilenstufenform und -M ist
auch in Zeilenstufenform, wenn M es ist. 
Falls es bei + auh klappt (ich glaube ja) ist es ein Unterraum

Comments

Wie kann ich c) beweisen? Ich weiss nicht wie ich es zeigen soll :((

Danke für die Antwort