Zeige: Hom(K,W)-->W; f -->f(1) ist ein Isomorphismus

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für jeden \( K \)-Vektorraum \( W \) die Abbildung
\(\begin{aligned} \operatorname{Hom}_{K}(K, W) & \rightarrow W \\ f & \mapsto f(1) \end{aligned}\)
ein Isomorphismus von \( K \)-Vektorräumen ist.

 \(\operatorname{Hom}_{K}(K, W) \) ist dabei die Menge der K-linearen Abbildungen von K nach W

Problem/Ansatz:

Erstmal zur Surjektivität: Die Abbildungsvorschrift ist doch genau so konstruiert, dass jedes Bild auch ein Urbild hat, oder sehe ich das falsch? Da gibt es nichts großartiges zu zeigen.

Die Injektivität macht mir mehr Probleme. Ich habe da diese schicke Definition:

\(\forall x_1.x_2 \in X: f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 \)

Allerdings verstehe ich nicht so recht, wie ich das auf meine gegebene Abbildung anwenden kann, weil in der Abbildung ja keine klassischen Elemente, sondern Funktionen drin sind.

Könnte mir da jemand weiterhelfen?

Answer 1

dass jedes Bild auch ein Urbild hat

Das ist per Definition von Bild der Fall.

\(\begin{aligned} \operatorname{Hom}_{K}(K, W) & \rightarrow W \\ f & \mapsto f(1) \end{aligned}\)

Jede lineare Abbildung ist eindeutig bestimmt durch die Bilder der Basisvektoren.

\(\{1\}\) ist eine Basis von \(K\).

Also gibt es für jedes \(w\in W\) genau ein \(\varphi \in \operatorname{Hom}_{K}(K, W)\) mit \(\varphi(1) = w\).

Also ist die in der Aufgabenstellung genannte Abbildung bijektiv.

Comments

Vielen lieben Dank für deine Antwort.

Mit diesem Satz ist der Beweis tatsächlich sehr intuitiv. Leider konnte ich diesem meiner Vorlesung nicht entnehmen, ich gehe davon aus, dass ich ihn also nicht verwenden darf. Tatsächlich beschränkt sich mein Wissen auf die Definition des Isomorphismus, des Bildes und Kerns einer Abbildung.