Zeigen Sie für alle A, B \subseteq M die Beziehungen

Question

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Sei \( (M, \mathrm{~d}) \) ein metrischer Raum. Zeigen Sie für alle \( A, B \subseteq M \) die Beziehungen
(i) \( A^{\circ} \cap B^{\circ}=(A \cap B)^{\circ} \),
(ii) \( \bar{A}=M \backslash\left((M \backslash A)^{\circ}\right) \).

Hat jemand ein Lösungsvorschlag? Ich kriege die Aufgabe absolut nicht hin. Vielen Dank!

Answer 1

Hallo,

erstmal zu (i): benutze, dass in metrischen Räumen gilt $$A^\circ=\left\{a\in A|\,\exists\varepsilon>0:\,B_\varepsilon(a)\subseteq A\right\}$$ wobei \(B_\varepsilon(x):=\{y\in M\,|\,\mathrm d(x,y)<\varepsilon\}\) die offene \(\varepsilon\)-Kugel um \(x\) ist.
Zeige dann beide Mengeninklusionen:

\(\subseteq\): Für \(x\in (A^\circ\cap B^\circ)\) hast du also \(\varepsilon,\delta>0\) sodass \(B_\varepsilon(x)\subseteq A\) bzw. \(B_\delta(x)\subseteq B\). Finde damit eine Kugel um \(x\) die vollständig in \(A\cap B\) liegt.

\(\supseteq\): Für \(x\in(A\cap B)^\circ\) hast du ein \(\varepsilon>0\) sodass \(B_\varepsilon(x)\subseteq(A\cap B)\). Finde damit Kugeln um \(x\) die vollständig in \(A\) bzw. \(B\) liegen.

Comments

Zu (ii): Sei \(x\in M\) dann ist $$x\in M\backslash((M\backslash A)^\circ)\\ \Leftrightarrow x\not\in(M\cap A^C)^\circ\\ \overset{(i)}{\Leftrightarrow}x\not\in M^\circ\cap(A^C)^\circ=(A^C)^\circ$$

Benutze dann die Charakterisierung des Abschlusses: $$\bar A=\left\{x\in M\,|\,\forall\varepsilon>0:\,B_\varepsilon(x)\cap A\neq\emptyset\right\}$$
und die Charakterisierung des Inneren von oben um zu zeigen $$x\in\bar A\Leftrightarrow x\not\in(A^C)^\circ$$