Welche der folgenden Funktionen sind im Punkt (0, 0) stetig

Question

Habe Probleme mit folgender Aufgabe. Ich bekomme einfach keine sinnvolle Lösung raus. Kann jemand folgende Aufgabe lösen?

Text erkannt:

Welche der folgenden Funktionen sind im Punkt \( (0,0) \) stetig?
(i) \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} ; \quad(x, y) \mapsto\left\{\begin{array}{ll}(1+|x y|)^{\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 1, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right. \)
(ii) \( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} ; \quad(x, y) \mapsto\left\{\begin{array}{ll}\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}} \sin (x-y), & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right. \)

Answer 1

Betrachte bei (i) den Spezialfall x=y. Bei diesem Weg der Annäherung an (0,0) ist der Grenzwert nicht 1, sondern √e.

Answer 2

Hallo

a)  nimm xn=1/n, yn=a/n als Folgen gegen 0 , betrachte die GW  (a kann>0 oder <0 sein )

b) nimm xy/(x^2+y^2) allein zeige dass es stetig ist mit f(0,0)=0 dann ist der sin nur auch stetig, also auch das Produkt.

Comments

nimm xy/(x²+y²) allein zeige dass es stetig ist mit f(0,0)=0

ƒ(x,y) = 2xy/(x²+y²) mit ƒ(0,0) = 0 ist nicht stetig, denn es ist ƒ(x,x) = 1 für alle x ≠ 0.

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Du hast natürlich recht und ich das nicht vergessen!

Danke lul