Für welche n ist gn(x) im Punkt stetig, differenzierbar bzw. stetig differenzierbar?

Question

  

Ich habe einen Ansatz für diese Aufgabe, aber weiß nicht, wie ich weiter untersuchen kann: 

"Damit gn(x) stetig in x=0, muss der lim (x→0) von fn(x) = 0 sein. Für natürliche n>0 geht xⁿ gegen 0 und cos (1/x) ist beschränkt. Also ist das für n>0 der Fall. ✓

Diffbar? Dafür muss existieren:  (f(0+h)-f(0)/h für h→0 

Durch einsetzen bekomme ich: (hⁿ*cos(1/h)-0)/h = h^n-1 *cos (1/h) und somit habe ich ein Ergebnis und es ist diffbar in x=0 für n>0 ✓"

Und weiter? 

Wie untersuche ich "stetig differenzierbar"? Ich habe ja jetzt beides für n>0 bewiesen, muss ich noch ein anderes n wählen? n=0 untersuchen? 

Wäre echt dankbar über Antworten! 

Answer 1

> Wie untersuche ich "stetig differenzierbar"?

Du weißt ja jetzt, wann die Ableitung existiert. In diesem Fall wird sie mit den üblichen Regeln berechnet. Berechne sie und untersuche wann sie stetig ist.

> Ich habe ja jetzt beides für n>0 bewiesen

Du musst noch zeigen, dass g für n = 0 nicht stetig sein kann.