Bestimme ein Polynom p(x) minimalen Grades derart, dass die gesamte Funktion a) stetig bzw b) stetig differenzierbar ist

Question

Hallo,

ich schreibe nächste Woche eine Mathe Klausur und beschäftige mich gerade mit einzelnen Aufgaben von paar Altklausuren. Ich bin mir sicher, dass eine Aufgabe zu Stetigkeit und oder Differenzierbarkeit kommen wird. In den Altklausuren hab ich jetzt folgende 2 Aufgaben gefunden, die mich verwirren, obwohl ich es eigentlich können sollte

Aufgabe:

1) f(x) = { -2x-5  für x ≤ -2

            { p(x) für -2 <x< 0

            { \( e^{x} \) x ≥ 0

Bestimme das Polynom p(x) so, dass es den kleinsten Grad hat, derart dass f stetig ist

2) f(x) = { \( x^{2} \) * \( cos^{2}(πx) \) für x≤3

              p(x) für x >3

Bestimme p(x) mit minimalen Grad, sodass f(x) stetig differenzierbar auf ganz R ist

Problem/Ansatz:

Zu 1 )  Die ist ja eigentlich einfacher als die 2. Aufgabe, da man nur auf Stetigkeit gehen soll. Im Prinzip muss ich ja nur f(-2) und f(0) bestimmen bzw. die Funktion von links gegen -2 und von rechts gegen 0 laufen lassen. Ersteres ergibt -1 und letzteres 1. Aber wie komm ich jetzt auf den Grad von p(x) ? Denn der Ansatz ist ja einfach : Wenn ich die Funktion (also p(x) ) von rechts gegen -2 laufen lasse, muss der Grenzwert des Polynoms -1 bzw. f(-2) entsprechen und analog von links gegen die 0 muss der Grenzwert f(0) = 1 sein. Ist das jetzt reines Ausprobieren oder kann ich eine Gleichung in irgendeiner Form aufstellen ?

zu 2 ) Hier hatte ich zuerst überhaupt Probleme zu verstehen, was stetig differenzierbar meint, aber d.h ja übersetzt die Funktion muss diffbar sein und die Ableitung, die daraus entsteht ist stetig oder? Gleiches Problem aber wieder, wie geh ich vor, um den Grad des Polynoms direkt zu sehen ? Gibt es einen Trick?

Kann ich eigentlich bei der Aufgabe 2 die obere Zeile direkt ableiten (denn diese ist ja als Komposition differenzierbar) und dann die Ableitung gegen 3 laufen lassen oder muss ich da schon den Differentialquotient benutzen ?

Sind meine Annahmen korrekt ? Über jegliche Hilfe wäre ich sehr dankbar

Comments

So viele Antworten in so kurzer Zeit, ich bin überrascht und geflasht. Vor allem ist jede einzelne Antwort von euch richtig gut erklärt und verständlich. Ich weiß gar nicht, wem ich die beste Antwort geben soll, aber fühlt euch alle gedrückt.

An so ne simple Lösung, wie die Geradengleichung aus der Schule hätte ich nie im Leben gedacht. Ich wusste nicht ein mal mehr, dass es die gibt und wie man sie aufstellt xD. Aber aus reiner Neugierde: es handelte sich die ganze Zeit um ein Polynom 1. Grades (vielleicht ist das auch der Standardfall in der Klausur keine Ahnung), aber was müsste ich beispielsweise bei einem Polynom 2, Grades beachten ? Wäre es dann statt Geradengleichung die Parabelgleichung ? Dass es 2. Grades ist würde ich dann daran erkennen, dass es 3 Bedingungen sind oder

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... aber was müsste ich beispielsweise bei einem Polynom 2, Grades beachten ?

das Prinzip ist immer das gleiche. Du hast \(n\) Informationen, mit denen denen man \(n\) Gleichungen mit \(n\) Unbekannten aufstellt. Die Unbekannten sind in diesem Fall die Koeffizienten \(a_i\) des Polynoms $$p(x) = a_o + a_1x + a_2x^2 + \dots$$

Wäre es dann statt Geradengleichung die Parabelgleichung ?

Es wären dann drei Informationen (z.B. Punkt, Steigung, Punkt) und gesucht sind die drei Koeffizienten \(a_0\), \(a_1\) und \(a_2\) der Parabel.

Dass es 2. Grades ist würde ich dann daran erkennen, dass es 3 Bedingungen sind

So ist es.

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Hab das schon versucht als neue Frage zu posten, aber es ging nicht. Kannst du mir bei der Aufgabe nochmal aushelfen ?

Aufgabe:

f(x) = { a * cos(2π*x) + 1  für x∈ [0,1]

    { b* \( x^{2} \)  + x + 2 für x ∈ ]1,2]

    { c * \( x^{x-2} \)  + 3  für x ∈ ]2,3]

a,b,c sollen so gewählt sein, dass die Funktion stetig differenzierbar ist

Problem/Ansatz:


Die 3 Sachen müsste man jetzt ja ableiten und die Grenzen einsetzen. Ich bezeichne die 3 zeilen jetzt als eigene Funktion, aber ihr wisst was gemeint ist :

f(x) = -2π * a * sin(2π * x)

g´(x) = 2bx + 1

h´(x) = c*\( x^{x-2} \)  * (ln(x) + \( \frac{x-2}{x} \) )

Die Bedingungen sind ja jetzt aufjeden Fall :

f´(1) = 0

g´(1) = 2b +1

g(2) = 4b +1

h´(2) = c* ln(2)

Aber wie muss ich jetzt vorgehen ? Wie komme ich jetzt auf die Paramter a,b,c ? Wenn ich es richtig sehe sollte a beliebig sein. b müsste doch -12 und c dann c = \( \frac{-1}{ln(2)} \)  sein oder denk ich zu leicht? Hab lediglich die entsprechenden Ränder als Gleichung aufgestellt und gelöst. Das sollte dann die Stetigkeit der Ableitung sicherstellen, aber was fehlt mir? Aber irgendetwas passt wieder nicht.

Answer 1

Hallo,

Im Prinzip muss ich ja nur f(-2) und f(0) bestimmen bzw. die Funktion von links gegen -2 und von rechts gegen 0 laufen lassen. Ersteres ergibt -1 und letzteres 1. Aber wie komm ich jetzt auf den Grad von p(x) ?

Es ist nach einem Polynom mit minimalen Grad gefragt. Ein Polynom 0'ten Grades wäre eine Konstante - also$$p(x) = a_0$$das geht nicht, da \(a_0\) nicht gleichzeitig -1 und 1 sein kann. Ein Polynom 1'ten Grades ist eine lineare Funktion$$p(x) = a_1 x + a_0$$ geht schon - oder? Verbinde also die beiden Punkte durch eine Gerade

~plot~ (x<=-2)*(-2x-5);(0<=x)*exp(x);(-2<=x)*(x+1)*(x<=0);[[-6|3|-3|4]] ~plot~

hier grün eingezeichnet.

Hier hatte ich zuerst überhaupt Probleme zu verstehen, was stetig differenzierbar meint, aber d.h ja übersetzt die Funktion muss diffbar sein und die Ableitung, die daraus entsteht ist stetig oder?

Ja genau!

Kann ich eigentlich bei der Aufgabe 2 die obere Zeile direkt ableiten ... ?

Ja klar, warum auch nicht. Stetig differenzierbar heißt, dass die 1. Ableitung stetig sein muss oder anders ausgedrückt, die Funktion selbst darf keinen Knick haben. Mit einem Knick hätte sie an einer Stelle zwei verschiedene Steigungen und so wäre die Ableitung nicht stetig.

Der 'Trick' besteht darin, die Zwangsbedingungen zu zählen. Eine Bedingung ist: die Funktion muss durch einen Punkt. Eine andere ist: die Funktion hat an einer bestimmten Stelle eine vorgegebene Steigung. Der Grad ist dann die Anzahl der Bedingungen minus 1.

Bei der ersten Aufgabe waren es zwei Punkte um den stetigen Übergang zu realisieren. Macht zwei Bedingungen minus 1 - also Polynom 1.Grades.

Bei der zweiten Aufgabe ist es ein Punkt und eine Steigung. Letzteres um die Ableitung stetig zu halten. Also wieder ein Polynom \(2-1=1\)'ten Grades.

Die Ableitung bei \(x=3\) ist$$f'(x) = 2x \cos(\pi x) \left( \cos(\pi x) - \pi x \sin(\pi x)\right) \\ f'(3) = 6$$ Somit sind die Bedingungen für das Minimalpolynom $$f(3) = 9 \land f'(3) = 6$$

~plot~ (x<=3)*(x^2*(cos(pi*x))^2);[[-1|5|-2|12]];(3<=x)*(6(x-3)+9) ~plot~

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Comments

Ich bedanke mich sehr !!

Aber ich hab jetzt nach solchen Aufgaben bewusst gesucht und eine gefunden, die ich mir so ähnlich vorstellen könnte in der Klausur. Man muss die Funktion nun mit Paramtern statt mit einem Polynom ausstatten :

f(x) = { a * cos(2π*x) + 1  für x∈ [0,1]

      { b* \( x^{2} \) + x + 2 für x ∈ ]1,2]

       { c * \( x^{x-2} \) + 3   für x  ∈ ]2,3]

a,b,c sollen so gewählt sein, dass die Funktion stetig differenzierbar ist

Die 3 Sachen müsste man jetzt ja ableiten und die Grenzen einsetzen. Ich bezeichne die 3 zeilen jetzt als eigene Funktion, aber ihr wisst was gemeint ist :

f(x) = -2π * a * sin(2π * x)

g´(x) = 2bx + 1

h´(x) = \( x^{x-2} \) * (ln(x) + \( \frac{x-2}{x} \))

Die Bedingungen sind ja jetzt aufjeden Fall :

f´(1) = 0

g´(1) = 2b +1

g(2) = 4b +1

h´(2) = c* ln(2)

Aber wie muss ich jetzt vorgehen ? Wie komme ich jetzt auf die Paramter a,b,c ? Wenn ich es richtig sehe sollte a beliebig sein. b müsste doch -\( \frac{1}{2} \) und c dann c = -\( \frac{1}{ln(2)} \) sein oder denk ich zu leicht? Hab lediglich die entsprechenden Ränder als Gleichung aufgestellt und gelöst. Damit sollten die Steigungen der Funktion überall passen, aber vergess ich vielleicht etwas ? Die Stetigkeit habe ich ja gar nicht beachtet oder?

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Aber wie muss ich jetzt vorgehen ?

Na ja - einfach an den Übergängen \(x=1\) und \(x=2\) die Funktionen und ihre Ableitungen gleich setzen:$$f(1) = g(1), \quad g(2) = h(2)$$somit ist die Stetigkeit gewährleistet $$f'(1)=g'(1) , \quad g'(2) = h'(2)$$und so die stetige Differenzierbarkeit.

Allerdings gibt das einen Widerspruch! Kannst Du die Aufgabenstellung nochmal prüfen. Sind es nur drei Parameter a, b und c? Es liegen vier Bedingungen vor.

\(b\) müsste doch \(-\frac 12\) und \(c\) dann \(c = -\frac 1{\ln(2)}\) sein oder denk ich zu leicht?

Mathematik kann auch leicht sein, ... wenn man es verstanden hat ;-)

Heißt Teil 3 (das \(h(x)\)) wirklich \(cx^{x-2}+3\)?

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Ne die Aufgabe hat tatsächlich nur die 3 Parameter. ich hab sie genau so gepostet, wie ich sie gefunden habe, aber danke trotzdem. Mir ist aber beim überprüfen auch aufgefallen, dass die Aufgabe weird ist. Naja ich hoffe einfach am Montag auf s beste

Answer 2

Aber wie komm ich jetzt auf den Grad von p(x) ?

Du hast doch 2 Punkte (-2;-1) und (0 ; 1 ) .

Verbinde sie mit einer Geraden y=mx+n

dann ist mx+n das gesuchte Polynom 1. Grades.

Hier x+1.

Bei 2 ist das was für x≤3 gegeben ist ja differenzierbar und

es ist f ' (3) = 6 und f (3) = 9

Auch hier reicht ein Polynom 1. Grades, die zugehörige

Gerade muss durch P(3/9) gehen und die Steigung 6 haben,

also 6x-9.

Dann ist für x>3 die Ableitung konstant gleich 6 und da

f ' (3) auch gleich 6 und der linksseitige Grenzwert von f '

ist auch 6 ist, ist die Ableitung bei 3 auch stetig.

Answer 3

Bei (a) muss das Polynom an den Schnittstellen mit den Funktionswerten übereinstimmen. Also \( p(-2) = -1 \) und \( p(0) = 1 \)

Das Polynom kleinsten Gerades ist eine Gerade durch diese beiden Punkte.

Bei (b) hat man ja nur eine Schnittstelle, aber da müssen auch noch die ersten Ableitungen an der Stelle \( x = 3 \) übereinstimmen. Auch hier ergibt sich eine Gerade als kleinstes Polynom, da ich zwei Bedingungen erfüllen muss.

\( p(3) = -9 \) und \( p'(3) = -6 \)

Der Wert der Ableitung ist die Steigung der Geraden und die muss auch noch durch den Punkt \( (3 | -9) \) gehen.