Bestimmen Sie a, b, c ∈ ℝ , sodass f:[-1,1] → ℝ mit f(x) = () a) stetig ist, b) differenzierbar ist

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie $a, b, c \in \mathbb{R}$, sodass $f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$ mit

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} a x, & x \in[-1,0[, \\ b, & x=0, \\ x^{2}+x+c, & x \in] 0,1], \end{array}\right.$

a) stetig ist,
b) differenzierbar ist.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei dieser Frage helfen? Komme nicht auf das Ergebnis und gerne mit Erklärung will das verstehen. Danke im Voraus.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu a) Damit eine Funktion an einer Stelle $x_0$ stetig ist, muss die Funktion an dieser Stelle definiert sein und du musst aus allen möglichen Richtungen zu diesem Funktionswert $f(x_0)$ gelangen. Im 1-dimensionalen Fall gibt es nur zwei Richtungen. Du kannst dich der Stelle $x_0$ von links oder von rechts nähern.

Hier ist die einzige kritische Stelle offensichtlich bei $x_0=0$. Wir bestimmen:

1) den linksseitige Grenzwert:$\quad \lim\limits_{x\nearrow 0}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow 0}(ax)=0$

2) der rechtsseitige Grenzwert $\quad\lim\limits_{x\searrow 0}f(x)=\lim\limits_{x\searrow 0}(x^2+x+c)=c$

3) und den Funktionswert $f(0)=b$.

Für die Stetigkeit der Funktion müssen alle 3 Werte gleich sein:$\quad \pink{b=c=0}$

Beachte, dass es zu den Rändern des Definitionsbereichs, also zu $x=-1$ und zu $x=1$, nur eine mögliche Richtung gibt, denn für $x<-1$ ist die Funktion nicht definiert und für $x>1$ auch nicht.

zu b) Bei der Differenzierbarkeit ist es etwas anders als bei der Stetigkeit. Hier muss es einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten geben und beide müssen gleich sein. Daher könnten wir jetzt aufhören, denn an den Rändern des Definitionsbereichs $[-1;1]$, also bei $x=-1$ und bei $x=1$ ist die Funkton nicht differenzierbar. Es gibt also keine Werte $a$, $b$ und $c$, sodass die Funktion über $[-1;1]$ differenzierbar ist.

Wenn du den Fehler des Leerers korrigieren möchtest, gehst du von einem offenen Definitionsbereich $(-1;1)$ aus. Dann kann $x_0\in(-1;1)$ noch so nahe bei $-1$ oder bei $1$ liegen, und es immer noch unendlich viele Punkte links bzw. rechts davon.

Wir bestimmen die beiden Grenzwerte für $x_0=0$$$\lim\limits_{x\nearrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\nearrow0}\frac{ax-b}{x}=\lim\limits_{x\nearrow0}\left(a-\frac bx\right)=a\qquad\text{falls }b=0$$Der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten existiert nur, wenn $b=0$ ist.$$\lim\limits_{x\searrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\searrow0}\frac{(x^2+x+c)-b}{x}=\lim\limits_{x\searrow0}\left(x+1+\frac{c-b}{x}\right)=1\qquad\text{falls }b=c$$Der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten existiert nur, wenn $b=c$ ist.

Wir sammeln alle Bedingungen ein: $\quad b=0\quad;\quad b=c\quad;\quad a=1$

und erhalten als Bedinung für die Differenzierbarkeit der Funktion:$\;\;\pink{a=1\;\land\;b=c=0}$

Answer 2

Interessant ist nur die Stelle $x = 0$.

$ax \to 0$ für $x \to 0$, also muss $b = 0$ gelten.

Einerseits gilt $x^2 + x +c \to c$ für $x \to 0$ und andererseits gegen $b = 0$, also muss $c = 0$ gelten.

Mit diesen Werten ist die Funktion stetig, $a$ ist aber noch nicht bestimmt. Das passiert über die Differenzierbarkeit.

Es muss der links- und rechtsseitige Grenzwert der Differenzenquotienten für $x = 0$ übereinstimmen.

Es gilt daher $\frac{ax - 0}{x} = a = \frac{x^2+x}{x} = x+1$. ür $x \to 0$ folgt $a = 1$

Damit gilt insgesamt $a = 1$, $b = c = 0$