Parameter der quadratischen Gleichung bestimmen sodass f(x) stetig und differenzierbar ist

Question

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{4 x} & {\text { falls } x \leq 0} \\ {a x^{2}+b x+c} & {\text { falls } 0<x \leq 1} \\ {3-2 x} & {\text { falls } x>1}\end{array}\right. \)

Zu dieser Funktion sollen die Parameter a, b und c gewählt werden, sodass die Funktion stetig und differenzierbar ist.

Die Nullstellen liegen bei x=0 und x=1.
Wie kann ich damit die Parameter richtig bestimmen?

Answer 1

Damit es stetig wird, muss bei x=0 bei der mittleren Zeile 0 und

bei x=1 bei der mittleren  Zeile  1 rauskommen

also c=0 und  a+b+c=1 .

Dann machst du von jeder Zeile die Ableitung und passt die auch so an.

Comments

Aber warum muss bei x=1 1 rauskommen?

Die Formel lautet doch y=ax²+bx+c, und an der Stelle x=1 ist der y-Wert doch 0 oder?

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Damit es stetig ist muss in der unteren Zeile für x=1

der gleiche Wert rauskommen wie in der mittleren.

also 1.

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Ok, das ist soweit klar.

Wie müsst ich vorgehen, damit die Funktion stetig ist, aber nicht differenzierbar?

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da musst du die Parameter so einstellen, dass

zu mindest an einer der Stellen o oder 1

bei den Ableitungen sich unterschiedliche Werte ergeben.

Answer 2

Unglücklichsterweise ist meine erste Antwort verschwunden.

Ich stelle hier nur einmal das handschriftliche ein.

für a + b = 1 ist die Funktion stetig

Bei der letzten Funktion ist sie auch differenzierbar.
Gleiche Steigung an den Nahtstellen.