Parameter a,b bestimmen, sodass Funktion stetig und diffbar ist. f(x):= x^2 + 2x + a für x<0 usw.

Question

Aufgabe:

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Konstanten \( a, b \) so, dass die Funktion
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} {-x^{2}+2 x+a} & {\text { für }} & {x<0} \\ {-3} & {\text { für }} & {x=0} \\ {b \cdot \sin (x)-3} & {\text { für }} & {x>0} \end{array}\right. $$
an der Stelle \( x_{0}=0 \) stetig und differenzierbar ist. Wie groß ist dann der Wert der Ableitung an dieser Stelle \( x_{0}=0 ? \)

 

Stetigkeit ist doch, dass die Fkt quasi "sprungfrei" ist an der Stelle x_o. Also für x=0 muss dann gelten \( -x^2+2x+a=-3 \) und \( b·\sin(x)-3=-3 \), oder? Komme dann für a=-3 und b=beliebig. Differenzierbarkeit muss doch die Ableitung im Punkt \( x_0 \) gleich sein. Doch ist jetzt ein Problem. Die Ableitung von -3 ist ja 0 und dann muss die Ableitung von -x²+2x+a und \( b·\sin(x)-3 \) im Punkt x=0 auch 0 sein, aber das ist nicht. Wo mach ich den Fehler?

Answer 1

Anfang ok.

Diffbarkeit muss doch die Ableitung im Punkt x_o gleich sein. Doch ist jetzt ein Problem. Die Ableitung von -3 ist ja 0 und dann muss die Ableitung von -x²+2x+a und b*sin(x)-3 im Punkt x=0 auch 0 sein, aber das ist nicht. Wo mach ich den Fehler? 

Die Ableitung von -3 ist ja 0 brauch dich nicht zu kümmern, da hier nur ein Punkt betroffen ist, muss die Kurve selbst hier nicht horizontal verlaufen.

f(x)= -x²+2x+a

f'(x) = -2x + 2

f '(0) = 2      von links. Muss auch von rechts so rauskommen.

Daher noch rechten Teil der Funktion ableiten

f '(x) = bcos(x)

f ' (0) = b

Somit folgt b = 2.

Kontrolle: Beide Funktionsgleichungen in dieselbe Skizze in einem Funktionsplotter eingeben. z.B. hier: https://www.matheretter.de/tools/funktionsplotter/

Comments

Heißt Differenzierbarkeit für einen Punkt nicht:

Ableitung Grenzwert links = Ableitung Punkt = Ableitung Grenzwert rechts?

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Differenzierbarkeit braucht immer Steigungsdreiecke. D.h. in diesem Beispiel, dass immer ein Punkt auf einer der beiden kurvigen Teile liegt.

f ' (0) := lim (f(0) - f(h))/h h pos. oder neg. und Grenzwert gegen 0 ansehen.

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Die Aufgabenstellung ist verwirrend. Das hätte man eindeutiger formulieren müssen.

Welche Steigung hat die Funktion f ( x ) = -3 ? Vor meinem geistigen Auge sehe ich gerade den Graph der Funktion. Es zeigt sich deutlich die Steigung 0.

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Nein. Das ist eine ganz gewöhnliche stückweise Definition, bei der hier mit f(0):=-3 eine hebbare Unstetigkeitsstelle gestopft wird. Ich habe jetzt oben den empfohlenen Graphen noch ergänzt. f(0)=-3 hab absolut nichts damit zu tun, dass dort die Steigung 0 sein soll. Sie ist definitiv 2.

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Ich will keine Haarspaltereien betreiben, kann deine Ansicht aber nicht teilen. In der Aufgabenstellung sind 3 Funktionen angegeben.

f ( x ) = -x²+2x+a
f ( x ) = -3
f ( x ) = b*sin(x)-3

Diese gelten für bestimmte Bereiche

f ( x ) = -x²+2x+a    für x < 0
f ( x ) = -3                 für x = 0
f ( x ) = b*sin(x)-3   für x > 0

Das steht oben in der Aufgabenstellung. Exakt.

Wenn ich für die mittlere Funktion keine Ableitung bilde, habe ich auch keinen Steigungswert für x = 0.

Die Aufgabe erscheint mir falsch gestellt. Besser wäre z.B. f ( x ) = 2x - 3  für x = 0

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Halte dich an die Fragestellung in der Abbildung:

resp.

f ( x ) := -x²+2x+a    für x < 0
f ( x ): = -3                 für x = 0
f ( x ): = b*sin(x)-3   für x > 0

Und benutze dann die Definition der Ableitung.

f ' (0) := lim  (f(0) - f(h))/h

ist h > 0 musst du in der Formel f(h) =  2*sin(h)-3 benutzen

ist h< 0 musst du in der Formel f(h) = -h^2 + 2h - 3 benutzen.

f(0) ist -3.

Und dann machst du die Grenzwerte und bekommst bei beiden die gleiche Steigung 2 raus.