Beweis, dass der unendliche Schnitt von offenen Mengen nicht offen ist.

Question

Aufgabe:

Beweis, dass der unendliche Schnitt von offenen Mengen nicht offen ist.

Comments

Beweis, dass der unendliche Schnitt von offenen Mengen nicht offen ist.

Ich glaube nicht, dass du das wirklich so meinst:
es gibt sehr wohl unendliche Schnitte offener Mengen, die offen sind.
Formuliere deine zu beweisende Aussage anders!

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In welchem Raum?

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Beispiel: offene Intervalle in \(\mathbb{R}\) mit der üblichen Metrik:

\((0,1)\subseteq (-1,2)\subseteq (-2,3)\subseteq \cdots\).Der Durchschnitt

dieser unendlich vielen offenen Mengen ist \((0,1)\), also offen.

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Ich sollte zunächst beweisen, dass der endliche Schnitt offener Mengen offen ist und daraufhin beweisen oder widerlegen, ob dies auch für den unendlichen Schnitt gilt. Ich hatte irgendwo gelesen, dass der unendliche Schnitt offener Mengen nicht offen ist und die Frage deswegen so formuliert. Sorry my bad^^

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Es ist also in Wirklichkeit so: du suchst ein Beispiel, in dem
der Durchschnitt unendlich vieler offener Mengen nicht offen ist.

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Im metrischen Raum.

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Nicht ganz die Aufgabe ist so:

Zeigen Sie, dass für N ∈ N der endliche Schnitt der offenen Mengen offen ist. (Das habe ich gemacht. Darauf folgt:

Gilt die Aussage auch für den unendlichen Schnitt? Beweisen oder widerlegen Sie.

Und das muss ich jetzt machen.

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Ja. Du musst es also widerlegen, und zwar durch ein Gegenbeispiel;
es sei denn, dass die Aussage, beliebige Durchschnitte offener Mengen
seien offen, wahr ist. In dem Falle müsstest du sie beweisen.

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Ja genau ein Gegenbeispiel, sorry habe den Kommentar falsch verstanden. Ich brauche halt ein Gegenbeispiel um die Aussage zu widerlegen.

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Habe ein Gegenbeispiel als Antwort gepostet.

Answer 1

Hier ein Gegenbeispiel im Sinne der Aufgabe, wie sie gemeint war:

in \(\mathbb{R}\) mit der üblichen Metrik ist$$\bigcap_{n=1}^{\infty}(-\frac{1}{n},\, 1+\frac{1}{n})=[0,1].$$