beweis zu offenen mengen

Question

Ich muss zeigen, dass der Schnitt endlich vieler, offener Mengen des R^n wieder offen ist und überprüfen ob auch der Schnitt unendlich vieler offener Mengen wieder offen ist.

Der Schnitt unendlich vieler offener Mengen ist meiner Meinung nach nicht offen, allerdings fällt mir kein Gegenbeispiel ein. Und kann mir jemand sagen wie ich den ersten Teil der Frage zeigen kann?

Answer 1

sind   m1, m2 , ... mn die offenen Mengen und x aus dem Schnitt,

dann gibt es in jeder der Mengen mk eine epsilon-Umgebung von x, die ganz in

mk liegt.   Sei e das kleinste dieser endlich vielen epsilons, dann liegt die

e-Umgebung von x ganz in jeder der mk, also auch im Schnitt.

Damit ist der Schnitt offen.

Betrachte in IR alle ( unendlich vielen) epsilon-Umgebungen mit Radius 1/n um

etwa den Nullpunkt.

Dann besteht der Schnitt nur aus der Menge mit dem Element 0, und

eine einelementige ist in IR nicht offen.