Körper mit 2 Elementen F2

Question

Ich habe hier gegeben F2 = {1,0}

a) Zeigen sie dass F2 ein Körper ist

b) Zeigen sie dass in ihm gilt 1+1 = 0

Answer 1

Wir definieren: 0+0=1,1+0=0,1+1=1 und 0*0=0, 1*0=1,1*1=1.

Damit wird die Menge {1,0} zu einem Körper mit additiv neutralem Element 1 und multplikativ neutralem Element 0.

Das zeigt auch, dass Aussage b) in dieser Form falsch ist.

Comments

ich soll das aber nicht über Definitionen zeigen sondern über die Körperaxiome und dann soll 1+1 = 0 gelten

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Schreib bittte die exakte Aufgabenstellung hin.

"sondern über die Körperaxiome": Damit wäre der Aufgabenteil a) sinnfrei. 

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Ich habe gerade die Körperaxiome durchgemacht:1. Axiome der Adition :1.1 Assoziativgesetz : (x+y)+z = x+(y+z)1.2 Kommutativgesetz: x+y = y+x1.3 Existenz der Null : x+0 = x1.4 Existenz des Negativen: x+(-x)=02.Axiome der Multiplikation:2.1 Assoziativgesetz: x(yz) = (xy)z2.2 Kommutativgesetz: xy=yx2.3 Existenz der 1 : x*1=x2.4 Existenz des Inversen. Zu jedem x e R mit x ≠ R gibt es ein x^-1 e R so dass xx^-1 = 13. Distributivgesetz x(y+z) = xy+xzUnd dann soll 1+1=0 folgen

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"Ich habe gerade die Körperaxiome durchgemacht:"

Und anhand welches + und welches *? Das funktioniert auch alles für meine oben.

Oder haben für euch 0 und 1 noch irgendwelche zusatzbedeutungen?

Ich kann mich eigentlich nur wiederholen:

Schreib bittte die exakte Aufgabenstellung hin. 

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+ : R x R --> R,     (x,y) --> x+y,

* : R x R --> R,      (x,y) --> xy,

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Das ist keine Definition, das ist eine Schreibweise.

Die sagt nichts darüber aus, was z.B. 0+0 ist, was sie aber müsste. (wie bereits mehrfach gesagt: Meine Defintion in der Antwort erfüllt auch das.)

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Kann es sein das in diesem Körper alle Zahlen mod 2 genommen werden ?

Geht es, dass man somit 1+1=2=0 gilt ? Kann man in einem Körper einfach nur mit Restklassen Rechnen ?

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Bitte poste die exakte Aufgabenstellung. Alles andere hat keinen Sinn.

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Wenn es nach dir geht kann man einen Körper auch mit jeder x-beliebigen Anzahl von Elementen nehmen :

F3 = {1,2,0} definiert über

1+1=1, 1+2=0, 1+0 = 0, 2+0=1

1*1 = 2, 1*0=2, 1*2=1, 2*0=2

1*2=1, 2*1=1; 0*0=1

Erfüllt alle Körperaxiome --> ist ein Körper

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"Wenn es nach dir geht kann man einen Körper auch mit jeder x-beliebigen Anzahl von Elementen nehmen :"

Nein. Habe ich nicht gesagt, stimmt auch nicht.

"Erfüllt alle Körperaxiome "

Meines Erfüllt alle Körperaxiomes, ich hab nur keine Lust du hier alle auzubreiten.

(und wenn ich a+b bzw. a*b definiert hab hab ich b+a bzw. b*a weggelassen aufgrund der Kommutativität)

Deines erfüllt die Körperaxiomes nicht:

Aus 1+1=1 folgt, dass 1 das neutrale Element der Additon ist. 

Damit müsste 1+2=2 sein, was es nicht ist. Also kein Körper.

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Aber du hast kein multiplikativ Inverses Element i zu 1 für das gilt:

1+i = 0

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@Mathe-ass:

1 ist in dieser Antwort das additiv neutrale Element (die üblichen Rollen von 0 und 1 sind schlicht vertauscht).

Und das hat nie ein multiplikativ Inverses.