Aufgabe:
(i) Überprüfen Sie ob die Menge \( A:=\left\{(x, y) | x^{2}+y^{2}<1\right\} \backslash\{(x, y) | x \geq 0, y=0\} \)
offen in \( \left(\mathbb{R}^{2}, d\right) \) ist, wobei \( d \) die von der euklidischen Norm induzierte Metrik ist. Bestimmen Sie außerdem \( \operatorname{Int}(A), \partial(A), \bar{A} \) sowie \( \operatorname{Int}(\bar{A}) \)
(ii) Zeigen Sie, dass die Menge \( B:=\left\{f | f\left(t_{0}\right)=\alpha\right\} \) in \( \left(C_{\mathbb{R}}([0,1]), d\right) \) für festes \( \alpha \in \mathbb{R} \) und \( t_{0} \in[0,1] \) abgeschlossen ist, wobei \( C_{\mathbb{R}}([0,1]):=\{f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} | f \text { ist stetig }\} \) und \( d \) die von der Supremumsnorm induzierte Metrik ist.
(iii) Man fasse \( \mathbb{Q} \) als Teilmenge von \( \mathbb{R} \) auf und versehe \( \mathbb{Q} \) mit der Relativmetrik \( d \) der Betragsmetrik. Überprüfen Sie, ob die Menge \( C:=\left\{x \in \mathbb{Q} | x^{2}<2\right\} \) offen und/oder abgeschlossen in \( (\mathbb{Q}, d) \) ist.
Fragen/Ansatz:
Ich hätte gerne Hilfe für alle diese Fragen, offene und abgeschlossene Mengen sind mir sehr neu und abstrakt/esotherisch und ich würde gerne mehr darüber verstehen.
Ich habe als Ansatz, dass ich mir die Menge A angeschaut habe, und bemerkt habe dass dies ein Kreisviertel bildet ohne die 0 auf der x-Achse und ohne die 0 auf der y-Achse. Diese Menge ist doch weder abgeschlossen noch offen ? Ich hab nur keine Ahnung wie ich das jetzt zu einem Beweis mache. Das Epsilon-Kalkül ist etwas, was ich nicht verstanden habe, so richtig. Man sollte mir mal das ein mal vormachen, so dass ich daraus lernen kann.
Danke nochmal vielmals für die Hilfe die ihr schon gegeben habt.
