Offene Menge epsilon gesucht

Question

Aufgabe: ist die Menge A={(x,y):0<x² +y ²<1}⊂ℝ² offen bzgl. Standardmetrik?

Problem: Definition offene Menge: für alle a∈A gibt es ε>0, s.d. "Kugel" B_ε(a)={x∈ℝ²:d(a,x)<ε}⊆A.

Mithifle einer groben Skizze komme ich zu der Vermutung, dass die Menge offen ist, da z.B. die Punkte am Rand (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1) nicht in der Menge enthalten sind (?). Jedoch tue ich mich schwer ein allgemeines epsilon zu finden, s.d. ich zeigen kann, dass jede mögliche Kugel vollständig in A enthalten ist.

Danke schonmal für jede Art von Hilfe!

Answer 1

Hallo,

deine Vermutung ist richtig, die Menge ist offen. Wie sieht die Menge \(A\) denn in deiner Skizze aus?
Oder anders gefragt: Wenn für \((x,y)\in\mathbb R^2\) mit \(0<x^2+y^2<1\) was gilt dann für \(|(x,y)|\)?

Wenn dir das klar ist, sieht man in der Skizze eigentlich recht gut, welches \(\varepsilon\) man wählen kann.