Gesucht sind Geraden die parallel liegen und sich schneiden

Question

Hallöle,

Gegeben ist die Gerade
\( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 5 \\ -3 \\ -6 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ -3 \end{array}\right), t \in \mathbb{R} \)
1. Gesucht ist eine Gerade \( h \), die echt parallel zu \( g \) liegt: \( h: \vec{x}=(\square, \square, \square)^{\top}+\lambda(\square, \square, I)^{\top}, \quad \lambda \in \mathbb{R} \)
2. Gesucht ist eine Gerade \( k \), die \( g \) schneidet. \( k: \vec{x}=(\square, \square, \square)^{\top}+\mu(\square, \square, \mid \square)^{\top}, \quad \mu \in \mathbb{R} \)

Kann mir wer bitte eine Lösung hierzu geben aber mit erklärung da ich weitere ähnliche aufgaben habe und ich sie alleine dann weiter machen möchte! Vielen Lieben Dank

Answer 1

1.

Parallele Geraden haben den gleichen Richtungsvektor, d.h. die Gerade h hat den Richtungsvektor (-2,3,-3) oder ein Vielfaches davon. Der Ortsvektor (Stützvektor) ist beliebig, sollte sich aber von (5,-3,-6) unterscheiden, denn sonst wären h und g identisch.

Was in der Aufgabe die Römische Eins im gesuchten Richtungsvektor bedeuten soll, ist unklar.

2.

Die Gerade k = (a,b,c) + m*(d,e,f) schneidet die Gerade g, wenn das Gleichungssystem

5 - 2t = a + m*d

-3 + 3t = b + m*e

-6 - 3t = c + m*f

eine Lösung hat. In diesem Fall geht es auch einfacher. k bekommt den gleichen Ortsvektor wie g (das ist der gemeinsame Schnittpunkt), aber einen anderen (beliebigen) Richtungsvektor, z.B.

k = (5,-3,-6) + m*(1,1,1)

Was in der Aufgabe der Querstrich im gesuchten Richtungsvektor bedeuten soll, ist unklar.

Answer 2

Es gibt keine eindeutige Lösung. Es gibt ja z.B. unendlich viele Geraden, die zu einer echt parallel liegen oder auch unendlich viele die eine Gerade in genau einem Punkt schneiden.

1.

h: X = [5, - 3, 0] + r * [- 2, 3, - 3]

2.

k: X = [5, - 3, -6] + r * [- 2, 3, 0]