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Aufgabe:

Für die Geschwindigkeit einer Rakete gilt die näherungsweise folgende Gleichungv(t)=aum0atgv'(t)=\frac{a\cdot u}{m_0−a\cdot t} - g

dabei ist g die Erdbeschleunigung, m0 die Startmasse der Rakete, a der Massenstrom des Treibstoffgases und u die als konstant angenommene Ausströmgeschwindigkeit des Treibstoffgases. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Rakete, wenn sie zum Zeitpunkt t = 0 von der Erdoberfläche bewegt wird.

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Aloha :)

v(t)=0tv(τ)dτ=0t(aum0atg)dτ=u0tam0aτdτ0tgdτv(t)=\int\limits_0^tv'(\tau)\,d\tau=\int\limits_0^t\left(\frac{au}{m_0-at}-g\right)\,d\tau=-u\int\limits_0^t\frac{-a}{m_0-a\tau}\,d\tau-\int\limits_0^tg\,d\tauDas Integral habe ich in 2 Teilintegrale aufgeteilt. Beim ersten Integral habe ich den Faktor (u)(-u) vor das Integral gezogen, damit im Zähler des Bruches (a)(-a) stehen bleibt. Dadurch steht im Zähler des Bruches die Ableitung des Nenners, und solche Integrale kann man sofort hinschreiben:f(x)f(x)dx=lnf(x)+const\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+\text{const}

Wir sind also fertig:v(t)=u[lnm0aτ]τ=0tgt=u(lnm0atlnm0)gtv(t)=-u\left[\ln|m_0-a\tau|\right]_{\tau=0}^t-gt=-u\left(\ln|m_0-at|-\ln|m_0|\right)-gtv(t)=ulnm0atm0gt=ulnm0m0atgt\phantom{v(t)}=-u\ln\left|\frac{m_0-at}{m_0}\right|-gt=u\ln\left|\frac{m_0}{m_0-at}\right|-gt

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v'(t) = a·u/(m - a·t) - g

v(t) ist die Stammfunktion von v'(t) für die gilt v(0) = 0

v(t) = u·(LN(m) - LN(m - a·t))  - g·t

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Hallo

du musst doch nur integrieren von 0 bis t? wenn du ln nicht direkt siehst substituiere u=m0− a · t m ; du=-adt

Gruß lul

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