Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Rakete

Question

Aufgabe:

Für die Geschwindigkeit einer Rakete gilt die näherungsweise folgende Gleichung$$v'(t)=\frac{a\cdot u}{m_0−a\cdot t} - g$$

dabei ist g die Erdbeschleunigung, m₀ die Startmasse der Rakete, a der Massenstrom des Treibstoffgases und u die als konstant angenommene Ausströmgeschwindigkeit des Treibstoffgases. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Rakete, wenn sie zum Zeitpunkt t = 0 von der Erdoberfläche bewegt wird.

Answer 1

Aloha :)

$$v(t)=\int\limits_0^tv'(\tau)\,d\tau=\int\limits_0^t\left(\frac{au}{m_0-at}-g\right)\,d\tau=-u\int\limits_0^t\frac{-a}{m_0-a\tau}\,d\tau-\int\limits_0^tg\,d\tau$$Das Integral habe ich in 2 Teilintegrale aufgeteilt. Beim ersten Integral habe ich den Faktor \((-u)\) vor das Integral gezogen, damit im Zähler des Bruches \((-a)\) stehen bleibt. Dadurch steht im Zähler des Bruches die Ableitung des Nenners, und solche Integrale kann man sofort hinschreiben:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+\text{const}$$

Wir sind also fertig:$$v(t)=-u\left[\ln|m_0-a\tau|\right]_{\tau=0}^t-gt=-u\left(\ln|m_0-at|-\ln|m_0|\right)-gt$$$$\phantom{v(t)}=-u\ln\left|\frac{m_0-at}{m_0}\right|-gt=u\ln\left|\frac{m_0}{m_0-at}\right|-gt$$

Answer 2

v'(t) = a·u/(m - a·t) - g

v(t) ist die Stammfunktion von v'(t) für die gilt v(0) = 0

v(t) = u·(LN(m) - LN(m - a·t))  - g·t

Answer 3

Hallo

du musst doch nur integrieren von 0 bis t? wenn du ln nicht direkt siehst substituiere u=m0− a · t m ; du=-adt

Gruß lul