Funktionsfolge Konvergenz zeigen

Question

Aufgabe:

Moin, ich soll folgende Funktionsfolge auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen und im Falle der Konvergenz die Funktion angeben, gegen die die Folge konvergiert:

$$s_{n}(x) = \frac{(-x)^n}{\sqrt{n+1}} , \quad für \quad x\in I =\left[0, 1\right]$$

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht wirklich weiter, da ich zum einen auf keinen ordentlichen Grenzwert komme für $$0 \leq x \lt 1$$ und ich in Folge dessen auch nicht weiß wie ich dann weiter vorgehen soll..mit De L'Hospital komme ich auch nicht weiter..Vielleicht kann mir jemand da weiterhelfen.

Comments

Ich verstehe dein Problem nicht so richtig:

wegen x in [0,1] ist der Betrag des Zählers \(\leq 1\),

der Nenner wächst aber für wachsendes n unbeschränkt,

also ...

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ok? dann habe ich $$\frac{0}{\infty}$$ ... und daran hänge ich mich auf..ist das dann tatsächlich einfach nur 0?

sorry, wenn ich so blöd frage..

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Um ehrlich zu sein, und wie man unschwer erkennen kann, habe ich den ganzen Aufgabentyp noch nicht wirklich verstanden. Viellciet kannst du mir ein paar erklärende Tipps anhand dieses Beispiels geben.

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ich hab jetzt nochmal probiert und bin zufolgendem Ergebnis gekommen:

$$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(-x)^n}{\sqrt{n+1}} = 0 \quad für \quad alle \quad x \in [0,1]  \Longrightarrow \quad s(x) = 0 \quad und \quad pw. \quad Konvergenz\\ Für \, gleichmäßige \, Konvergenz:\\ |s_n(x) - s(x)|= |\frac{(-x)^n}{\sqrt{n+1}} - 0| =|\frac{(-x)^n}{\sqrt{n+1}}| \leq|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}|\leq\frac{1}{\sqrt{n+1}}\leq\frac{1}{n+1} =: a_n\\ \Longrightarrow gleichmäßig \, konvergent$$

Kann das stimmen?

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Ja, eben bemerkt ;)

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sorry, eben bemerkt, dass der Term zum Schluss mit Wurzel im Nenner natürlich nicht kleiner gleich dem Term ohne Wurzel im Nenner ist..mann, ey

Answer 1

und daran hänge ich mich auf..ist das dann tatsächlich einfach nur 0?

Ja !  Wenn du einen Bruch hast, bei dem der Zähler gegen 0 geht

und der Nenner gegen unendlich, dann ist immer der Grenzwert 0.

Es reicht sogar, dass der Zähler beschränkt ist, also z.B. einen

endlichen Grenzwert hat.