(b) Es sei fn : [a, b] → R (n ∈ N) eine Folge monoton wachsender Funktionen mit
(i) fn(a) ≥ 0 (n ∈ N)
(ii) lim n→∞ fn(b) = 0
Zeigen Sie, dass (fn)n∞ = 1 gleichmäßig gegen 0 konvergiert auf [a, b].
Die Menge S := [a,b] ist kompakt, da S abgeschlossen und beschränkt ist, denn ∃max S = b und ∃min S = a. Ausserdem weiss ich noch, dass die jede Funtkion aus fn monoton wachsend ist. Demnach für ein x1 x2 aus S gilt:
wenn x1 < x2 , dann fn(x1) ≤ fn(x2) für ein n ∈ ℕ. Damit (fn) gegen eine Grenzfunktion f gleichmässig konvergiert, muss (fn) auch punktweise konvergieren. ⇒ Nach Voraussetzung fn(b) → 0 ⇒ f(b) = 0? Aber das verstehe ich nicht, denn aus (i) ist fn(a) ≥ 0 (n ∈ N). Gelte fn(a) ≥ fn(b), dann wäre fn n ∈ ℕ nicht monoton wachsend. Es gibt eine Ausnahme wenn fn(a) = fn(b) aber das Ganze verstehe ich dann nicht. Ich würde sehr dankbar sein, wenn jemand mir helfen kann.
