der Gedanke ist, dass für vorgegebenes \( \epsilon \) kein \( N \) existiert, ab dem die Funktion an allen Punkten \( x \in [0, 1) \) in der \( \epsilon \)-Umgebung der Grenzfunktion ist (siehe letzter Absatz im Abschnitt "Definition" unter
https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Konvergenz).
In der Tat kann man für jedes endliche \( N \) einen Funktionswert finden, der von der Grenzfunktion \( f(x) = 0 \) mehr als \( \epsilon \) abweicht, was man dadurch einsieht, dass die Funktionenfamilie \( f_N(x) = x^N, x \in [0, 1) \) surjektiv auf \( [0, 1) \) abbildet.
Ist nun also für \( \epsilon > 0 \) ein \( N < \infty \) gegeben, so weicht \( f_N(x) \) in der Nähe von \( x = 1 \) um mehr als \( \epsilon \) von der Grenzfunktion \( f(x) \) ab (bzw. existiert eine solche \( \delta \)-Umgebung von \( x = 1 \)), sodass ein Widerspruchsbeweis (Annahme: \( N < \infty \) existiert) gegeben ist.
Der gleiche Gedankengang führt zur gleichmäßigen Stetigkeit auf \( [0, b] \) mit \( b < 1 \).
MfG
Mister