Zeige: Konvergenz auf dem Intervall [0,1) ist nicht gleichmässig, wohl aber auf [0,b]. fn(x):=x^n.

Question

Aufgabe:

Die Konvergenz der Funktionenfolge \( \left(f_{n}\right)_{n=0}^{\infty} \operatorname{mit} f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{n} \) ist, wie Sie in Beispiel \( 11.2 \) gesehen haben, nicht gleichmäßig. Zeigen Sie, dass die Konvergenz auf dem Intervall \( [0,1) \) auch nicht gleichmäßig ist, wohl aber auf jedem Intervall \( [0, b] \) mit \( 0<b<1 \).

Answer 1

der Gedanke ist, dass für vorgegebenes \( \epsilon \) kein \( N \) existiert, ab dem die Funktion an allen Punkten \( x \in [0, 1) \) in der \( \epsilon \)-Umgebung der Grenzfunktion ist (siehe letzter Absatz im Abschnitt "Definition" unter https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Konvergenz).

In der Tat kann man für jedes endliche \( N \) einen Funktionswert finden, der von der Grenzfunktion \( f(x) = 0 \) mehr als \( \epsilon \) abweicht, was man dadurch einsieht, dass die Funktionenfamilie \( f_N(x) = x^N, x \in [0, 1) \) surjektiv auf \( [0, 1) \) abbildet.

Ist nun also für \( \epsilon > 0 \) ein \( N < \infty \) gegeben, so weicht \( f_N(x) \) in der Nähe von \( x = 1 \) um mehr als  \( \epsilon \) von der Grenzfunktion \( f(x) \) ab (bzw. existiert eine solche \( \delta \)-Umgebung von \( x = 1 \)), sodass ein Widerspruchsbeweis (Annahme: \( N < \infty \) existiert) gegeben ist.

Der gleiche Gedankengang führt zur gleichmäßigen Stetigkeit auf \( [0, b] \) mit \( b < 1 \).

MfG

Mister