Funktionenfolgen: gleichmäßige Konvergenz - Zeige ||f|| <= C1 wenn ||fn||<= C1 und weitere

Question

Aufgabe:

Sei fn:R -> R eine Funktionenfolge die gleichmäßig gegen f konvergiert und es gelte ||fn|| <= C1 für alle n element N, wobei ||.|| die Supremumsnorm auf R bezeichne. Des Weiteren sei gn:R -> R eine Funktionenfolge die gleichmäßig gegen g konvergiert und es gelte ||gn|| <= C2 für alle n element N.

a) Zeige ||f|| <= C1

b) Beweise, dass fngn gleichmäßig gegen fg konvergiert.

c) Gilt die Aussage auch noch wenn man auf die Aussage ||fn|| <= C1 für alle n element N verzichtet? Begründe.

Hinweis: Betrachte die Funktion fn = x und gn = 1+ 1/n

Problem/Ansatz:

Erstmal, was sollen denn C1 und C2 sein? Die verwirren mich momentan sehr.

zu b) welche Art von Beweisstrategie soll ich da verwenden?

und zu c) Ich vermute nein, und glaube, dass das irgendwie mit der Beschränktheit zusammenhängt. Folgt die dann irgendwie aus der Aussage ||fn||<= C1? Und beim Hinweis war ich dann richtig verwirrt. Warum ist in der einen Funktionenfolge ein x und in der Anderen ein n? Ist das ein Tippfehler?

Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar!

LG

Comments

Hallo,

kein Grund zur Verwirrung: Zu den Voraussetzungen gehört, dass es eine Konstante C1 gibt, so dass für alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt: \(\|f_n\| \leq C1\). Mit anderen Worten: Die Normen der \(f_n)\) lassen sich durch eine Konstante abschätzen.

Bei dem Beispiel im Hinweis ist diese Voraussetzung nicht erfüllt. Es handelt sich einfach um eine konstante Funktionenfolge, \(f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f_n(x):=x\). Diese Funktionen sind natürlich nicht beschränkt.

Gruß Mathhilf

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Hallo,

C₁ ist also eine Konstante. Das hilft schon mal sehr! Danke.

Was bedeutet das denn konkret, wenn sich die Normen durch eine Konstante abschätzen lassen?

Und dieses Beispiel im Hinweis ist dann quasi ein Gegenbeispiel, oder? Aus Aussage aus b stimmt also nicht mehr, weil g_n nicht nach oben beschränkt ist?

Danke für die Antwort :)

LG

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Du sollst zeigen, dass die beschränktheit deiner Funktionfolge sich bei gleichmäßiger konvergenz auf die Grenzfunktion überträgt. Dort musst du einfach nur die voraussetzungen anwenden.

Bei der b arbeitest du am besten mit der Definition, einer Nulladdition, Dreiecksungleichung und wendest die voraussetzung an, dass f und g beschränkt ist

Lg

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Dankeschön :)

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Falls du nicht weiter kommst, frag einfach nochmal :)

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Das werde ich wohl brauchen. :)

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Hallo,
ich hätte jetzt gezeigt, dass aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt
lim n→∞ ||f-f_n || =0 ⇔ ||f|| = lim n→∞ ||f_n   || und da ||fn|| <= C1 gilt also auch lim n→∞ ||fn|| <= C1 und somit ||f||<= C1. Ergibt das so Sinn? Und kann es sein, dass aus dieser Begrenzung der Supremumsnorm auch die Beschränktheit von f und g folgt?
LG :)

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Hallo,

in Deiner ersten Aussage gilt nur \( \Rightarrow \), aber das ist ja auch die "Richtung", die für den Beweis benötigt wird.

Ja, die sup-Norm ist ja die kleinste obere Schranke für die Werte \(|f(x)|\).

Gruß Mathhilf

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vielen Dank! :)

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Hast du die b) hinbekommen? :)

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Nein, ehrlich gesagt nicht. Ich bin bei dem Thema irgendwie total aufgeschmissen, weil das nicht im serlo drin steht, falls du das kennst. Ich weiß nicht mal genau mit welcher Definition ich starten soll. o:) Also falls du eine ganze Lösung hast immer her damit... :)

LG

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Hallo,

ich versuche es nochmal mit einem Tipp: Schau in irgendeinem Buch, vielleicht auch im Serlo, nach wie der Beweis geführt worden ist: Für Folgen \((x_n),(y_n)\) gilt:

\([x_n \to x, y_n \to y] \Rightarrow x_ny_n \to xy\)

Das lässt sich übertragen.

Gruß Mathhilf

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Danke Dir :)

Answer 1

Ich lade dir hier mal ausnahmsweise den Beweis hoch, falls du dazu fragen hast, stell sie :)

Comments

Nur damit ich das richtig verstehe: Das M und das delta da unten könnte man dann auch als das C₁ und das C₂   bezeichnen, oder? Und die epsilons gehen gegen 0, weil...?
Ansonsten ergibt das für mich echt Sinn, vielen vielen Dank! Ich hätte echt nicht gedacht hier auf so nette und geduldige Menschen zu stoßen :)
LG

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Ja also M ist einfach C1 und S einfach C2 und die epsilon sind einfach gewählt von der gleichmäßigen konvergenz von gn und fn. Und dann erfüllt das ja genau die Bedingung weil ja epsilon beliebig klein wird, wird auch der Dann dort was am Ende steht beliebig klein also erfüllt das genau die Definition

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Ah epsilon wird beliebig klein, das ergibt Sinn. Krass, ich glaub ich habs verstanden :) Danke danke danke!

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Gerne:......... :)