Berechnen A - lambda mal I

Question

Seien $$ A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}\right), \quad I=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right).$$ Berechnen Sie $$A+3 B,\quad\left(7 A-B\right) I, \quad A-\lambda I $$ (wobei \( \lambda \) eine beliebige Zahl ist).

Wie kann man hier letzte Punkt berechnen? nämlich A minus Lamda mal I

Comments

Wie kann man hier letzte Punkt berechnen? nämlich A minus Lamda mal I

Beachte die Regel "Punkt-vor-Strich".

Außerdem muss es "lambda" heißen, nicht "Lamda"!

Answer 1

Aloha :)

Bekannt sind uns folgende Matrizen:$$A=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}\quad;\quad B=\begin{pmatrix}0 & 1\\2 & 3\end{pmatrix}\quad;\quad I=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$$

Damit berechnen wir:

$$A+3B=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}0 & 1\\2 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 3\\6 & 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 5\\9 & 13\end{pmatrix}$$

$$(7A-B)\cdot I=7A-B=7\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 1\\2 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 & 14\\21 & 28\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 1\\2 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 & 13\\19 & 25\end{pmatrix}$$

$$A-\lambda\cdot I=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\lambda & 0\\0 & \lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\3 & 4-\lambda\end{pmatrix}$$

Comments

Wird lambda immer von der hauptdiagonale  abgezogen bzw. multipliziert?

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Das \(\lambda\) ist ein Faktor, der mit der Einheitsmatrix \(\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\) multipliziert wird:$$\lambda\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot\lambda & 0\cdot\lambda\\0\cdot\lambda & 1\cdot\lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda & 0\\0 & \lambda\end{pmatrix}$$Daher taucht \(\lambda\) nach der Multiplikation nur auf der Hauptdiagonalen auf.