Question

wie lautet der fixvektor der matrix
m=0,4        0       0,3

      0,4       0,5     0

      0,2       0,5     0,7

und wie berechnet man den fixvektor ?:)

Comments

Ein Fixvektor, ist ein Vektor r, der nach der Abbildung noch gleich ist. Also r' = r

In die Gleichung

mr = r

kannst du r =(x,y,z) einsetzen und dann das LGS nach x,y,z auflösen.
Es sollte so sein, dass du eine Komponente des Fixvektors einfach mal wählen kannst. Alternativ: gleich parametrisieren und t setzen.
Gelingt das nicht, kommt ja nur der Nullvektor raus.

Etwas komplizierteres Beispiel: https://www.mathelounge.de/73682/wie-berechne-ich-einen-fixvektor

Answer 1

Die Bedingung für einen Fixvektor v = [x, y, z] zur Matrix M ist

M * v = v

Also bei dir 

0.4x + 0y + 0.3z = x
0.4x + 0.5y + 0z = y
0.2x + 0.5y + 0.7z = z

Wir bringen die Variablen der rechten Seite mit auf die Linke

-0.6x + 0y + 0.3z = 0
0.4x - 0.5y + 0z = 0
0.2x + 0.5y - 0.3z = 0

Das ist ein Lineares Gleichungssystem welches du lösen kannst. Da wir auf jeden Fall die Nulllösung haben ist die Frage ob das System unendlich viele Lösungen hat. Man sieht schon das wenn man die erste und die zweite Gleichung addiert das dann das negative der dritten Gleichung heraus kommt. Damit können wir die letzte Gleichung auch ersetzen durch 

x + y + z = 1

Also haben wir 

-0.6x + 0y + 0.3z = 0
0.4x - 0.5y + 0z = 0
x + y + z = 1

Du kommst hier auf die Lösung

x = 5/19 ∧ y = 4/19 ∧ z = 10/19

Das ist also unser Fixvektor. Natürlich gehen auch alle Vielfachen dieses Vektors also auch

x = 5 ∧ y = 4 ∧ z = 10

Comments

aber wieso steht da denn jetzt -0,6x ,das war doch 0,4 ?

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Du solltest das 1x von der rechten Seite mit auf die linke bringen. Also auf beiden Seiten - 1x.

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ok danke ! und wie kann man das in den taschenrechner eingeben,es steht immer etwas mit rref ,aber ich weiß nicht was das bedeutet? Und ist es immer so das die letzte zeile durch x+ y+ z=1 ersetzt werden kann ?

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Zumindest wenn die 3. Zeile linear abhängig ist. Das ist bei Stochastischen Matrizen allerdings immer der Fall. Also wenn die Summe der Spalten in der Matrix immer 1 ergibt. Denn dann bräuchte man die letzte Zeile ja nicht, weil sie eh nur Werte enthält die man dann bereits kennt.

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und das ich die dritte Zeile durch x,y und z ersetzte also durch 1 ,1,1 das mach ich auch wenn ich es per Hand mit dem Gauss verfahren ausrechne,oder nur wenn ich es in den taschenrechner eingebe ?

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Ja das kannst du auch machen wenn du das per Hand ausrechnest.

Du solltest sehen das bei deinem Gleichungssystem eine Zeile wegfällt und für die Nummst du dann die letzte.

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also es fällt dann meistens immer die dritte weg ,oder? und für die setzt ich dann halt 1,1,1 ,1 ein ,oder?

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Ja genau. Zumindest wenn du einen Vektor suchst deren Summe der Elemente genau 1 hat.

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und schreibe ich dann1x,1y,1z hin ? weil sonst könnte ich es ja nicht mit dem gauss verfahren lösen ?

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@Gast: x+y+z=1 ist dasselbe wie 1x + 1y + 1z=1.

Einen Vektor gibst du mit Komponenten an Bsp. (1,1,1) .

Da ist dann automatisch die x-Komponente 1, die y-Komponente 1 und die z-Komponente 1.

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aber wenn ich es mit dem Gauss verfahren ausrechne und dann die dritte zeile dadurch ersetze kommt etwas ganz anderes raus ,oder kann man die ganz weg lassen und nur mit den ersten beiden gleichungen rechnen ?

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Du kannst jedes Vielfache des resultierenden Vektors nehmen. Hauptsache die Richtung stimmt.

Wenn du nur mit den ersten beiden Gleichungen rechnest, hast du zu viele Unbekannte. Du musst die Lösung entweder normieren (z.B. wie Mathecoach das macht) oder parametrisieren.