Fixvektor Umverteilungsprozess, gültig nur für feste Gesamtzahl?

Question

Aufgabe:

Berechne den Fixvektor zur Mäusematrix für eine Gesamtzahl von 60 Mäusen.

Problem/Ansatz:

Der Fixvektor gibt das Verhältnis für eine Verteilung an, die bei Multiplikation mit der Matrix konstant bleibt.

Warum gilt der Fixvektor immer nur für eine bestimmte Gesamtzahl, hier 60 Mäuse, und nicht für z.B. 55 oder 100 Mäuse (bei gleichbleibender Matrix)?

Anderes Beispiel: Bei einer anderen Aufgabe haben wir uns im Unterricht die Grenzverteilung angeguckt und notiert dass die Startverteilung egal ist, aber zusammen addiert es immer (bei dieser Einwohneraufgabe) 60 Tsd. ergeben müssen.

Ich verstehe nicht, warum es eine feste Gesamtanzahl geben muss.

Viele Grüße

Answer 1

Warum gilt der Fixvektor immer nur für eine bestimmte Gesamtzahl, hier 60 Mäuse

Weil das Ergebnis 60 ist wenn du die Komponenten des Vektors addierst.

und nicht für z.B. 55 oder 100 Mäuse (bei gleichbleibender Matrix)?

Wenn \(\vec{v}\) ein Fixvektor für 60 Mäuse ist, dann ist \(\frac{55}{60}\cdot\vec{v}\) ein Fixvektor für 55 Mäuse und \(\frac{100}{60}\cdot\vec{v}\) ein Fixvektor für 100 Mäuse.

aber zusammen addiert es immer (bei dieser Einwohneraufgabe) 60 Tsd. ergeben müssen.

Weil in der Aufgabenstellung steht, dass es 60 Tsd. Einwohner gibt.

Comments

Kannst Du 55/60 * v bitte näher erklären, warum kann man das so machen? Meine Frage ist ja woher diese Bedingung kommt und warum es nur für die Summe der Werte des Vektors gilt.

Gibt es dann für jede mögliche Startzahl (55, 60, 100, ...) einen eigenen Fixvektor?

---

Kannst Du 55/60 * v bitte näher erklären, warum kann man das so machen?

Rechenregeln für skalare Multiplikation und Matrix-Vektormultiplikation: Für jede Matrix \(M\) und jede reelle Zahl \(r\) und jeden Vektor \(\vec v\) gilt

        \(M\cdot (r\cdot \vec v) = r\cdot (M\cdot \vec v)\)

falls das Matrix-Vektorprodukt \(M\cdot \vec v\) definiert ist.

Ist nun \(\vec v\) ein Fixvektor von \(M\) (also \(M\cdot \vec v = \vec v\)), dann gilt

        \(M\cdot\left(r\cdot\vec{v}\right)=r\cdot\left(M\cdot\vec{v}\right)=r\cdot\vec{v}\),

also ist \(r\cdot \vec v\) ebenfalls ein Fixvektor von \(M\).

Meine Frage ist ja woher diese Bedingung kommt

Welche Bedingung meinst du?

und warum es nur für die Summe der Werte des Vektors gilt.

Worauf bezieht sich das Wort es?

Gibt es dann für jede mögliche Startzahl (55, 60, 100, ...) einen eigenen Fixvektor?

Ja. Oder es gibt überhaupt keinen Fixvektor.