Zeigen Sie, dass f linear ist und bestimmen Sie Kern und Bild der Abbildung f.

Question

Hallo

ich sitze gerade an einer Mathe Übungsaufgabe und stehe komplett auf dem Schlauch ich weiß gar nicht wo ich anfangen soll

Aufgabe:

Sei P5 die Menge der reellen Polynome höchstens fünften Grades. ¨
Die Abbildung f : P5 → P5 sei gegeben durch:
f(p)(x) = x *p'(x) − 2p(x) .
Zeigen Sie, dass f linear ist und bestimmen Sie Kern und Bild der Abbildung f. Geben
Sie jeweils eine Basis fur Kern und Bild an. ¨
Zur Notation: Da f : P5 → P5, ist f(p) selbst ein Polynom. f(p)(x) steht hier fur die ¨
Auswertung dieses Polynoms an der Stelle x, p
0 bezeichnet die Ableitung des Polynoms p.

Problem/Ansatz:

Wie ich oben schon beschrieben habe sitze ich an dieser Aufgaben und habe wirklich keinen Ansatz ich weiß nicht einmal wie ich hier sinnvoll die Linearität zeigen soll :(

Wenn mir irgendjemand hierbei auf die Sprünge helfen könnte wäre dass echt super

Answer 1

Hallo

1. f(0)=0 ist nur hinzuschreiben f(r*p)(x)=xrp'(x)-2r)p(x)=r*f(p)(x)

f(p1+p2)=x*p1'+xp2'+2p1+2p2=f(p1)+f(p2)

Kern xp'+2p=0 also 2p=-xp' jetzt p=a0+a1x+....+a5x^5, x*p'=a1x+2a2x^2+3a3x^3+4a4x^4+5a5x^5=-2a0-2a1x-2a2x^2...-2a5x^5

damit das für ALLEx gleich ist müssen die Koeffizienten der x^k gleich sein  das gilt nur falls alle ak=0  also ist nur 0 im Kern , also ist das Bild wieder ganz P5

aber dass du nicht die einfache Prüfung von linear erstmal versuchst ist sehr schade, das rechnet man IMMER einfach nach.

Gruß lul

Comments

Danke für die schnelle Antwort ich habe in der Zwischenzeit den beweis der Linearität sinnvoll hinbekommen ich war vorhin einfach nur sehr verwirrt :). Deine Antwort hat mir geholfen den Kern und dass Bild auszurechnen

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Ich hoffe, dass du dann etwas anderes heraus hast als lul.

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ich bin verwirrt? was meinst du damit?

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Hallo Gast hj

Ich freie mich immer, wenn du Fehler von mir findest! Aber so wie du das gegenüber Fragenden machst, empfinde ich das als wenig nett, mir und dem Fragenden gegenüber,

Warum so kryptisch und nicht einfach den Fehler nennen (oder sogar die richtige Lösung?)

Gruß lul

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Wenn der Fragesteller das tun würde, was er tun sollte, nämlich die Lösung mit Papier und Bleistift selbständig Schritt für Schritt nachvollziehen und nicht nur das Endergebnis Kopieren und Pastieren, dann hätte er den Fehler leicht gefunden, denn die Lösungsmethode hast du ihm ja gesagt, es handelt sich schließlich "nur" um einen Vorzeichenfehler, der aber zu einem sehr falschen Resultat führt.