Zeigen Sie: Wenn die Vektoren linear abhängig sind, so gilt φ(v1, .

Question

Aufgabe: Sei φ eine alternierende Funktion in k Variablen über einem Vektorraum V mit v1,...,vk Vektoren aus V. Zeigen Sie: Wenn die Vektoren linear abhängig sind, so gilt φ(v1, . . . , vk) = 0. Gilt die Umkehrung?

Answer 1

Wenn \( v_{1}, \ldots, v_{k} \) linear abhängig sind, so gibt es \( \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k-1} \) mit
\(\begin{aligned} v_{k}=\sum \limits_{i=1}^{k-1} \alpha_{i} v_{i}\end{aligned} \)
Insbesondere gilt
\( \begin{aligned} \varphi\left(v_{1}, \ldots, v_{k}\right) &=\varphi\left(v_{1}, \ldots, v_{k-1}, \sum \limits_{i=1}^{n} \alpha_{i} v_{i}\right) \\ &=\sum \limits_{i=1}^{n-1} \alpha_{i} \underbrace{\varphi\left(v_{1}, \ldots, v_{k-1}, v_{i}\right)}_{=0}=0 . \end{aligned} \)
Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, betrachte die Nullabbildung.