Aufgabe:
Gegeben sei die Matrix:
\( A = \left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 5 & 0 & 3\end{array}\right)\)
Wir wollen die Normalform von \( A \) bezüglich Äquivalenz bestimmen. Hierzu gehen wir wie folgt vor:
(a) Bestimmen Sie eine Basis des Spaltenraums von \( A \) und ergänzen Sie diese zu einer Basis \( \mathcal{B} \) von \( \mathbb{R}^{4} \), indem Sie geeignete Einheitsvektoren \( e_{i} \) der kanonischen Basis \( \left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right) \) von \( \mathbb{R}^{4} \) hinzufügen.
(b) Bestimmen Sie den Rang sowie den Defekt der Abbildung \( F_{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, x \mapsto A x \).
(c) Bestimmen Sie eine Basis des Kerns von \( F_{A} \).
(d) Finden Sie eine Basis \( \mathcal{A} \) von \( \mathbb{R}^{3} \), sodass \( T_{\mathcal{B}}^{-1} A T_{\mathcal{A}}=\left(\begin{array}{cc}E_{r} & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) \) für ein \( r \in \mathbb{N} \) gilt. Hinweis: Hierbei müssen Sie \( T_{\mathcal{B}}^{-1} \) nicht explizit bestimmen.
Problem/Ansatz:
Zur a) Gab es keine Probleme. Ich habe die Matrix transponiert und habe mir die Zeilen abgelesen.
ZSF der Spaltenmatrix:
\(\left(\begin{array}{ccc}-1 & 3 & 1 & 5 \\0 & 5 & 0 & 10 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\)
Resultierende Basis ohne Ergänzungen der Kanonischen Basis des \(\mathbb{R}^4\):
\(\left(\left(\begin{array}{c}-1 \\ 3 \\ 1 \\ 5 \\\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \\ 10 \\\end{array}\right)\right)\)
Hier hab ich arbiträr e1 und e2 ergänzt aus \(\mathbb{R}^4\) und berechnet dass dies linear unabhängig ist.
b) Ich verstehe hier nicht was von mir gewollt wird. Wie sollte diese Abbildung aussehen ? Ist dies einfach die Spaltenmatrix oder ist dies etwas anderes.
Ich könnte dann den Rest der Aufgabe lösen mit Hilfe bei der b).
Vielen Dank für alle Hilfe im Voraus.
