Sei G eine Gruppe und M ein Monoid. Begründung, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch

Question

Aufgabe:

Sei G eine Gruppe und M ein Monoid. Entscheiden Sie mit Begründung, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch
sind:

1. Ist G unendlich, so sind alle Untergruppen von G unendlich.

2. Das neutrale Element von M ist eindeutig bestimmt.

3. Sind a, b, c ∈ M mit a ◦ b = a ◦ c, so folgt b = c

4. Sind a, b, c ∈ G mit a ◦ b = a ◦ c, so folgt b = c

Probleme/Ansätze:

Hallo, könnte mir jemand tipp geben oder mir sagen wie ich vorgehen kann, den Aufgaben?

Ist es richtig, dass 3 auf jeden fall stimmen muss weil M ein Monoid ist oder liege ich falsch?

Answer 1

Zu 1:

Die multiplikative Gruppe \(\mathbb{Q}^*\) von \(\mathbb{Q}\) enthält die Untergruppe \(\{\pm 1\}\).

Zu 2:

Das ist wahr (warum?)

Zu 3:

Betrachte zu der Menge \(X=\{1,2,3\}\) als Beispiel die Potenzmenge

\(P(X)\) mit \(\cap\) als Verknüpfung. Hier solltest du ein Gegenbeispiel finden.

Zu 4:

Das ist wahr (warum?)