Aloha :)
$$x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\quad;\quad x_1=a>1$$In jedem neuen Folgenglied wird der Mittelwert von \(x_n\) und \(\frac{a}{x_n}\) gebildet. Daher nähern sich beide Werte immer weiter an, bis sie im Grenzwert gleich sind: \((x=\frac ax)\) bzw. \((x^2=a)\). Daher vermuten wir als Grenzwert \(x=\sqrt a\).
Beschränktheit
Für zwei nicht negative Zahlen \(c,d\ge0\) gilt allgemein:$$0\le(\sqrt c-\sqrt d)^2=c-2\sqrt{cd}+d\implies\sqrt{cd}\le\frac{c+d}{2}\quad\leadsto$$$$x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{a}{x_n}}{2}\ge\sqrt{x_n\cdot\frac{a}{x_n}}=\sqrt a$$Da insbesondere \(x_1=a>1\) ist auch \(x_1>\sqrt{a}\).
Daher ist die Folge \((x_n)\) durch \(\sqrt a\) nach unten beschränkt:\(\quad x_n\ge\sqrt a\)
Monotonie
Wegen \((x_n\ge \sqrt a)\) ist \((x_n^2\ge a)\) bzw. \((a-x_n^2\le0)\), sodass:$$x_{n+1}-x_n=\frac12\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)-x_n=\frac{a}{2x_n}-\frac{x_n}{2}=\frac{a-x_n^2}{2x_n}\le0\implies x_{n+1}\le x_n$$
Die Folge \((x_n)\) ist also monoton fallend und daher auch durch \(x_1=a\) nach oben beschränkt.
Grenzwert
Jede beschränkte monotone Folge konvergiert. Daher existiert der Grenzwert \(x\) der betrachten Folge. Wir bestimmen ihn wie folgt:$$x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\quad\bigg|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$$$\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=\frac12\left(\lim\limits_{n\to\infty} x_n+\frac{a}{\lim\limits_{n\to\infty} x_n}\right)\quad\bigg|x\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}$$$$x=\frac12\left(x+\frac ax\right)=\frac x2+\frac{a}{2x}\quad\big|-\frac x2$$$$\frac x2=\frac{a}{2x}\quad\big|\cdot2x$$$$x^2=a\quad\big|\sqrt{\cdots}$$$$x=\pm\sqrt a$$Wegen \((x_n\ge\sqrt a)\) kommt nur der positive Wert als Grenzwert in Betracht:$$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\sqrt a$$
