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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir suchen Lösungen im ersten Quadranten \((x;y\ge0)\) für das Optimierungsproblem:$$C(x;y)=64x+61y\to\text{Optimum}\quad;\quad F(x;y)=4x^2+76xy+4y^2=3682=\text{const}$$
Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedinungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, stellt sich die Situation sehr einfach dar:$$\operatorname{grad}C(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(x;y)\implies\binom{64}{61}=\lambda\binom{8x+76y}{76x+8y}$$Der Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) stört zunächst nur, um ihn loszuwerden, dividieren wir die Gleichung für die erste Koordinate durch die der zweiten Koordinate:$$\frac{64}{61}=\frac{8x+76y}{76x+8y}=\frac{2x+19y}{19x+2y}\implies64(19x+2y)=61(2x+19y)\implies$$$$1216x+128y=122x+1159y\implies1094x=1031y\implies \underline{\underline{y=\frac{1094}{1031}\,x}}$$
Damit haben wir die entscheidende Bedingung gefunden und können die Fragen beantworten...
a. Bei welcher Menge von x werden bei einem Output von 3682 ME die Kosten minimal?
Wir setzen die Optimierungsbedingung in die Nebenbedingung ein:$$3682=4x^2+76x\,\frac{1094}{1031}\,x+4\left(\frac{1094}{1031}x\right)^2=89,147816\,x^2\implies x=6,42667795$$
b. Bei welcher Menge von y werden bei einem Output von 3682 ME die Kosten minimal?
$$y=\frac{1094}{1031}\,x=6,81938475$$
c. Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator λ im Kostenminimum?
Aus der Gradientenbedingung wählen wir die Gleichung für die erste Koordinate:$$64=\lambda\cdot(8x+76y)=\lambda\cdot569,6866646\implies\lambda=0,11234246$$
d. Wie lautet das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren x und y?
Das ist unsere Lagrange-Bedingung:$$\frac yx=\frac{1094}{1031}\quad\text{bzw.}\quad\frac xy=\frac{1031}{1094}$$Welches der beiden Verhältnisse du angeben sollst, weiß ich leider nicht.
e. Wie hoch sind die Produktionskosten C(x1,x2) im Optimum?
$$C_{\text{min}}=827,29$$
