Für welche a ∈ ℤ ist A_{a} invertierbar in ℤ^{3 \times 3}?

Question

Aufgabe:

Für \( a \in \mathbb{R} \) sei \( A_{a}=\left(\begin{array}{ccc}2 a & a-1 & 0 \\ -3 a+3 & -2 a+4 & -a-1 \\ a-1 & a-1 & a+1\end{array}\right) \).

Für welche \( a \in \mathbb{Z} \) ist \( A_{a} \) invertierbar in \( \mathbb{Z}^{3 \times 3} \) ?
Problem/Ansatz:

Wieso ist das für kein a aus den ganzen Zahlen erfüllt, wie kommt man darauf ?

Answer 1

Für \(a\in\mathbb Z\) ist \(A_a\) ist genau dann invertierbar in \(\mathbb Z^{3\times3}\), wenn \(\det(A_a)\in\lbrace-1,1\rbrace\) ist.
Nun ist \(\det(A_a)=2(a+1)^2\ge2\) für alle \(a \in\mathbb Z\setminus\lbrace-1\rbrace\) und \(\det(A_{-1})=0\).
Siehe dazu auch https://de.wikipedia.org/wiki/Ganzzahlige_unimodulare_Matrix.

Comments

Warum gilt die Bedingung det(Aa) aus {-1, 1} speziell für die ganzen Zahlen?

Ich kenne das normalerweise so, dass det einfach ungleich 0 sein musss um invertierbar zu sein

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Letzteres gilt, wenn die Matrixelemente aus einem Körper stammen (z.B. den der reellen Zahlen). Wenn etwas allgemeiner die Elemente einer quadratischen Matrix aus einem kommutativen Ring mit Eins stammen, dann ist die Matrix genau dann invertierbar, wenn deren Determinante invertierbar in diesem Ring ist. Konkret sind -1 und +1 die einzigen invertierbaren Elemente im Ring der ganzen Zahlen. Und in Körpern ist per Definition jedes Element außer der Null invertierbar.