Aloha :)
Um den Hinweis anwenden zu können, musst du dir zuerst die Matrix \(A\) beschaffen:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}-az+2x-y\\az+2x+y\\ax+y-2z\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}2\\2\\a\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-a\\a\\-2\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\to\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & -a\\2 & 1 & a\\a & 1 & -2\end{array}\right)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$
Eine Matrix \(A\) hat genau dann vollen Rang, wenn nur der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet wird. Wir prüfen daher, für welche Werte von \(a\) das homogene Gleichungssystem nur den Nullvektor als Lösung hat:
$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline2 & -1 & -a & 0 &+\text{Gleichung 2}\\2 & 1 & a & 0 &\\a & 1 & -2 & 0 & \\\hline4 & 0 & 0 & 0 & :\,4\\2 & 1 & a & 0 &\\a & 1 & -2 & 0 & \\\hline1 & 0 & 0 & 0 &\\2 & 1 & a & 0 &-2\cdot\text{Gleichung 1}\\a & 1 & -2 & 0 & -a\cdot\text{Gleichung 1}\\\hline1 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 1 & a & 0 &\\0 & 1 & -2 & 0 & -\text{Gleichung 2}\\\hline1 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 1 & a & 0 &\\0 & 0 & -2-a & 0 &\end{array}$$Für \((a=-2)\) erhalten wir eine Nullzeile, was bedeutet, dass das Gleichungssystem dann unendlich viele Lösungen hat. Für \((a=-2)\) hat die Matrix also keinen vollen Rang.
Für \((a\ne-2)\) können wir weiter rechnen:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline1 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 1 & a & 0 &\\0 & 0 & -2-a & 0 &:\,(-2-a)\\\hline1 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 1 & a & 0 &-a\cdot\text{Gleichung 3}\\0 & 0 & 1 & 0 &)\\\hline1 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow x=0\\0 & 1 & 0 & 0 &\Rightarrow y=0\\0 & 0 & 1 & 0 &\Rightarrow z=0\end{array}$$Für \((a\ne-2)\) hat das homogene Gleichungssystem nur die triviale Lösung \(\vec x=0\).
Daher ist \(f_a\) für alle \((a\ne-2)\) invertierbar.
