Fur welche x ∈ ℝ ist die Matrix A= ((1,2,1),(-1,x,-1),(2,0,x)) invertierbar?

Question

Fur welche x ∈ ℝ ist die Matrix A invertierbar?

A:=

1	2	1
-1	x	-1
2	0	x

 ((1,2,1),(-1,x,-1),(2,0,x))

Answer 1

A ist invertierbar genau dann, wenn det(A) ≠ 0.

Bestimme die x-Werte, für die Det(A) = 0, nenne sie x1 und x2 und schreibe dann.

A ist invertierbar, wenn x ∈ ℝ \ { x1, x2} .

Kontrollresultat: Det(A) = x^2 - 4. A ist invertierbar, wenn x ∈ ℝ \ { -2, 2} .

Answer 2

certi,

eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante einen von 0 verschiedenen Wert besitzt. Als erstes bildest Du die Determinante der gegebenen Matrix $$\left(\begin{matrix}1 & 2 & 1\\ -1 & x & -1\\2 & 0 & x\end{matrix}\right)$$ und erhältst (mit der Determinantenberechnung nach Sarrus:

Der Wert dieser Determinante muss ungleich 0 sein, damit sie invertierbar ist. D.h. wir prüfen, für welche Werte die Determinante 0 ist: $$x^2-4=0$$ $$\Longleftrightarrow x^2=4$$ $$x_1 = +\sqrt{4}=+2$$ $$x_2 = -\sqrt{4}=-2$$ Für diese Werte ist die Matrix nicht invertierbar. Also gilt: $$t\in\mathbb{R}\setminus\{2,-2\}\Longrightarrow A\text{ ist invertierbar.}$$

Konnte ich Dir damit weiterhelfen?

Liebe Grüße

André, savest8

Comments

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort...hat auch mir sehr weitergeholfen. Könntest du mir vielleicht bei folgendem Beweis helfen? Komme überhaupt nicht weiter und muss das morgen abgeben. Wäre echt super lieb von dir <3

https://www.mathelounge.de/417957/laplacescher-entwicklungssatz-beweis

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Hallo CarpeDiem,

ich werde mir die Aufgabe gleich einmal ansehen. Darf ich fragen, für welchen Studiengang diese Aufgabe konzipiert ist (Mathematik, Physik, Informatik, Wirtschaftsinformatik, BWL, ...)?

André, savest8

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.. für Mathematiker und Informatiker ;-)

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Hier nur nochmal ein Foto von der Aufgabe<3

Answer 3

Die Determinante muss ungleich Null sein.