Bestimmen Sie P unten T(mit Strich drüber)von (K) und P unten T von (K mit Strich drüber)

Question

Eine von zehntausend Personen leidet an einer bestimmten Stoffwechselkrankheit. Für diese Erkrankung gibt es einen einfachen diagnostischen Test, der bei Kranken mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% und bei Gesunden mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% die korrekte Diagnose liefert.
Bezeichnungen: K "Die getestete Person ist krank"
T "Der Test zeigt ein positives Resultat"

Im obigen Beispiel wurde die Diagnostik einer relativ seltenen Erkrankung untersucht. Betrachten Sie nun den Fall, dass eine relativ häufige Krankheit vorliegt, die von einer von zwanzig Personen auftritt. Mit welchen Wahrscheinlichkeiten liefert der Test bei sonst gleichen Daten falsche Ergebnisse?

Bestimmen Sie P unten T(mit Strich drüber)von (K) und P unten T von (K mit Strich drüber)

Problem/Ansatz:

Ich habe gerade mit dem Satz von Bayes angefangen, aber verstehe das leider nicht.

Answer 1

Die Situation mit den 10000 Personen zeigt folgendes Baumdiagramm. Unter den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten die absolute Anzahl der betroffenen Personen:

			10000 Personen
	Person krank				Person gesund
	p=0,0001				p=0,9999
	1				9999
Test zeigt krank an		Test zeigt gesund an		Test zeigt krank an		Test zeigt gesund an
p=0,9		p=0,1		p=0,02		p=0,98
0,9		0,1		199,98		9799,02

Nun überträgt man diese Situation auf 20 Personen, von denen einer wirklich erkrankt:

			20 Personen
	Person krank				Person gesund
	p=0,05				p=0,95
	1				19
Test zeigt krank an		Test zeigt gesund an		Test zeigt krank an		Test zeigt gesund an
p=0,9		p=0,1		p=0,02		p=0,98
0,9		0,1		0,38		18,62

Falsche Ergebnisse gibt es zwei :

Person krank / Test zeigt gesund an ("falsch negativ") p = 0,05*0,1 = 0,005

Person gesund / Test zeigt krank an ("falsch positiv") p = 0,95*0,02 = 0,019