Definition des Begriffs "Integral"

Question

Aufgabe:

Definition des Begriffs "Integral"

Problem/Ansatz:

Hallo,
ich brauche Hilfe bei der Definition des Begriffs "Integral". Reicht es, wenn man das "Integral" als Oberbegriff des bestimmten und unbestimmten Integrals bezeichnet? Sowohl im Tafelwerk als auch im Internet finde ich dazu fast nichts. Die einzigen Ansätze die ich gefunden habe, sind dass es ein "Grenzwert" ist und "mathematischer Summenausdruck über die Differenziale eines endlichen oder unendlichen Bereichs". Da weiß ich aber nicht, ob das stimmt. Zudem weiß ich nicht genau, was mit "Differenzialen" gemeint ist. (Ist das die Ableitung einer Funktion?)

Es wäre sehr nett, wenn mir hierbei jemand helfen und den Begriff "Integral" erklären könnte.
Danke!

Answer 1

Ich kann dir nur schnell zusammenfassen, wie ich das Integral gelernt habe:

1) Darboux-Integral (bei reellen Funktionen). Prinizipiell brauchen wir ein Intervall in ℝ [a, b] mit a < b. Nun wollen wir dieses Intervall in n-1 Teilintervalle mit den Stützstellen ξ zerlegen, und wir nennen unsere Zerlegung Z. Dabei soll folgendes gelten: a = ξ₀ < ξ₁ < ... < ξ_n = b. Jetzt können wir uns die Ober- und die Untersumme der Funktion f(t) einfach definieren:

Obersumme: O(Z) =\( \sum\limits_{j=1}^{n(Z)}{(ξ_j - ξ_{j-1}) sup f(t)} \) .

Untersumme: U(Z) =\( \sum\limits_{j=1}^{n(Z)}{(ξ_j - ξ_{j-1}) inf f(t)} \) .

Jetzt kannst du aber dein Intervall [a,b] in immer kleinere Teilintervalle teilen - das heißt, dass du hier den Limes verwenden kannst. Nämlich gilt dann lim O(Z) = lim U(Z) = \( \int\limits_{a}^{b} f(t)\).


2) Nun ist es aber möglich, dass du nicht immer mit reellwertigen Funktionen zu tun hast, sondern z.B. mit komplex- oder vektorwertigen Funktionen. Dafür gibt es einen alternativen Ansatz, nämlich das Riemann-Integral: Nämlich wählen wir wieder eine Zerlegung wie beim Darboux-Integral, der Unterschied ist aber, dass wir nun uns auch Zwischenstellen α_j definieren, dabei gilt α_j ∈ [ξ_j-1 ,ξ_j].

Wir können also unsere Riemann-Summe folgenderweise definieren:

S(R) = \( \sum\limits_{j=1}^{n(R)}{(ξ_j - ξ_{j-1}) f(\alpha_j)} \).

Konvergiert nun dieses Netz, so ist die Funktion f Riemann-integrierbar und wir bezeichnen \( \int\limits_{a}^{b} f dx:= \lim S(R)\)

Hoffentlich hilft dir das weiter!