Ich kann dir nur schnell zusammenfassen, wie ich das Integral gelernt habe:
1) Darboux-Integral (bei reellen Funktionen). Prinizipiell brauchen wir ein Intervall in ℝ [a, b] mit a < b. Nun wollen wir dieses Intervall in n-1 Teilintervalle mit den Stützstellen ξ zerlegen, und wir nennen unsere Zerlegung Z. Dabei soll folgendes gelten: a = ξ0 < ξ1 < ... < ξn = b. Jetzt können wir uns die Ober- und die Untersumme der Funktion f(t) einfach definieren:
Obersumme: O(Z) =\( \sum\limits_{j=1}^{n(Z)}{(ξ_j - ξ_{j-1}) sup f(t)} \) .
Untersumme: U(Z) =\( \sum\limits_{j=1}^{n(Z)}{(ξ_j - ξ_{j-1}) inf f(t)} \) .
Jetzt kannst du aber dein Intervall [a,b] in immer kleinere Teilintervalle teilen - das heißt, dass du hier den Limes verwenden kannst. Nämlich gilt dann lim O(Z) = lim U(Z) = \( \int\limits_{a}^{b} f(t)\).
2) Nun ist es aber möglich, dass du nicht immer mit reellwertigen Funktionen zu tun hast, sondern z.B. mit komplex- oder vektorwertigen Funktionen. Dafür gibt es einen alternativen Ansatz, nämlich das Riemann-Integral: Nämlich wählen wir wieder eine Zerlegung wie beim Darboux-Integral, der Unterschied ist aber, dass wir nun uns auch Zwischenstellen αj definieren, dabei gilt αj ∈ [ξj-1 ,ξj].
Wir können also unsere Riemann-Summe folgenderweise definieren:
S(R) = \( \sum\limits_{j=1}^{n(R)}{(ξ_j - ξ_{j-1}) f(\alpha_j)} \).
Konvergiert nun dieses Netz, so ist die Funktion f Riemann-integrierbar und wir bezeichnen \( \int\limits_{a}^{b} f dx:= \lim S(R)\)
Hoffentlich hilft dir das weiter!