Zeige, dass gilt A*B=BA*

Question

Aufgabe: Seien A,B∈ℂ^nxn mit n∈ℕ und A und B sind normal. Gelte zusätzlich AB=BA. Warum gilt dann auch A*B=BA* ?(A* steht für das komplex konjugierte der Matrix A)

Answer 1

Da \( A \) und B kommutieren und normal sind, sind sie simultan diagonalisierbar. Es gibt also eine unitäre Matrix \( S \) und Diagonalmatrizen \(D_1, D_2\) mit
\( A=S D_{1} S^{*}, \quad B=S D_{2} S^{*} \)
Damit ergibt sich
\( \begin{aligned} A B^{*} &=\mathbf{S D}_{1} \mathbf{S}^{*}\left(\mathbf{S D}_{2} \mathbf{S}^{*}\right)^{*} \\ &=\mathbf{S D}_{1} \mathbf{S}^{*} \mathbf{S D}_{2}^{*} \mathbf{S}^{*} \\ &=\mathbf{S D}_{1} \mathbf{D}_{2}^{*} \mathbf{S}^{*} \\ &=\mathbf{S D}_{2}^{*} \mathrm{D}_{1} \mathbf{S}^{*} \\ &=\mathbf{S D}_{2}^{*} \mathbf{S}^{*} \mathbf{S D}_{1} \mathbf{S}^{*} \\ &=\left(\mathbf{S D}_{2} \mathbf{S}^{*}\right)^{*} \mathbf{S D}_{1} \mathbf{S}^{*}=\mathbf{B}^{*} \mathbf{A} \end{aligned} \)