Was ist ein Polardreieck in der sphärischen Trigonometrie?

Question

Aufgabe: Was ist ein Polardreieck in der sphärischen Trigonometrie?

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand erklären, wie man zu einem gegebenen sphärischen Dreieck das dazugehörige Polardreieck konstruiert?
Ich würde gern diese Definition des Polardreiecks verstehen: Das Polardreieck A'B'C' zu einem gegebenen sphärischen Dreieck A,B,C heißt ein sphärisches Dreieck, für dessen Seiten die Eckpunkte des gegebenen Dreiecks Pole sind.

Comments

Der schwedische Wikipedia-Eintrag ist sehenswert. Viele Browser bieten die automatische Übersetzung an.

https://sv.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%A4r_triangel

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Wunderbar! Ich kann Schwedisch und werde mich gleich über den Artikel hermachen! Danke! G.R.

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Vielleicht hilft Dir auch die Arbeit einer Schülerin aus Österreich: http://www.oemg.ac.at/Mathe-Brief/fba2015/VWA_Zehetmaier.pdf Kapitel 3.4 Seite 13

die schreibt auf deutsch ;-)

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Danke für den Hinweis, Werner-Salomon!

Aus der Arbeit der Österreicherin (Schritt für Schritt klar, aber im Fall Polardreieck für mich zu komprimiert), aus der schwedischen Wikipedia (ebenfalls zu viel Information in einen Satz gedrängt) und aus Darlegungen in schwerverständlichem asiatischen Englisch auf YouTube habe ich mir meine eigene Version davon zurechtgebastelt, was es mit dem Polardreieck auf sich hat. Langatmig, aber ich verstehe endlich jeden Satz. Also:
Die drei Seiten eines sphärischen Dreiecks sind jeweils Segmente eines Großkreises. Diese Großkreise wiederum sind die Kanten von drei kreisförmigen Ebenen, die ihren Mittelpunkt im Mittelpunkt der Kugel haben. Errichtet man in diesem Mittelpunkt auf jeder dieser drei Ebenen die Senkrechte, so durchstoßen diese Senkrechten die "Haut" der Kugel an drei Punkten. Jeder dieser Punkte ist der Pol zu der zugehörigen Großkreisebene ebenso wie der Nord- (auch der Süd-) Pol zur Äquator-Ebene gehört. Verbindet man jene drei Punkte auf der Oberfläche der Kugel miteinander, so bekommt man ein neues sphärisches Dreieck, eben das Polardreieck.
Im Verhältnis der beiden Dreiecke gilt nun, dass eine Seite des sphärischen Dreiecks ihr Komplement im entsprechenden Winkel des Polardreiecks hat, das heißt, die beiden Stücke ergänzen sich zu 180°. Und umgekehrt.
Angesichts solcher Umständlichkeit werden wahre Mathematiker sich die Haare raufen, aber hat dieser Laie hier wirklich etwas falsch gemacht?

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... so durchstoßen diese Senkrechten die "Haut" der Kugel an drei Punkten.

es sind 6 Punkte. Zwei pro Gerade, die senkrecht auf der Ebene des Großkreises steht.

Und der Satz aus der deutschen Wikipedia, der wohl definieren soll, welcher der beiden der 'richtige' ist, ... Zitat:

"Der Pol eines Dreieckspunktes ist der auf der gleichen Seite liegende Pol des Großkreises der beiden anderen Dreieckspunkte."

macht für mich so keinen Sinn. Ein Dreieckspunkt hat gar keinen Pol, sondern die Dreiecksseite hat einen! Es sei denn, man definiert einen Pol für einen Punkt (was ich mir gut vorstellen kann), aber davon steht dort nichts,

Aus dem Text der Schülerarbeit kann ich nicht ersehen, welcher Pol genommen wird. Nach der beiliegenden Zeichnung (Abbildung 13), ist der Pol zu wählen, der auf der anderen Seite der Großkreisebene, wie der dritte Punkt des Ausgangsdreieck liegt.

... aber hat dieser Laie hier wirklich etwas falsch gemacht?

Nein - passt schon. Du siehst ja, dass es andere auch nicht besser machen ;-)