Banachscher Fixpunktsatz für eindeutige Lösung des Gleichungssystems

Question

Aufgabe:

Sei D := [-1,1] x [-1,1]. Zeige, dass das Gleichungssystem

x₁ = cos(1/8x₁·x₂)

x₂ = sin(1/6(x₁+x₂))

eine eindeutige Lösung in D hat.

Problem/Ansatz:

Ich würde hier den Banachschen Fixpunktsatz verwenden. Doch wie lässt sich für
Φ(x) = (cos(1/8x1·x2), sin(1/6(x1+x2))
e(Φ(u) - Φ(v)) ≤ L·d(u,v) mit L<1 am besten zeigen und was kann ich für e und d wählen ?

Vielen Dank für die Hilfe.

Comments

Vielleicht kannst du analog zu Aufgabe 5 vorgehen

in diesem Beispiel:

https://www.igpm.rwth-aachen.de/Download/ss07/num_etechnik/folie_banach.pdf

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@ mathef: In Deinem Link wird für den Banachschen Fixpunktsatz ein konvexer Definitionsbereich gefordert. Die Forderung der Konvexität ist mir neu. Weißt Du, welche Funktion sie hat?

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Hallo, ich wollte mal fragen ob ich das bis jetzt richtig verstanden habe :

Wir zeigen L:= sup ||Φ'(x)|| < 1 mit

Φ'(x) = Matrix mit
a_1,1 = -1/8x₂·sin(1/8x₁·x₂)
a_1,2 = -1/8x₁·sin(1/8x₁·x₂)
a_2,1 = 1/6·cos(1/6(x₁+x₂))
a_2,2 = 1/6·cos(1/6(x₁+x₂))

Den nächsten Schritt habe ich jedoch nicht ganz verstanden. Ich brauche eine geeignete Norm aber wie kann ich abschätzen und was wähle ich als L ?

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@ Mathhilf

Muss zugeben, dass ich das nicht so gründlich gelesen habe.

Allerdings hatte ich immer so im Hinterkopf, dass das

wohl konvex sein muss, damit nicht bei dem "Zusammenziehen"

zwischen zwei Punkten, man bei einem landet, der nicht

in D liegt.

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@ mathef: Ich vermute eher, dass die Konvexität für den folgenden Hilfssatz benötigt wird und deshalb in die Formulierung des Satzes mit hineingenommen wurde.

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@paula

Als nächstes kannst Du die Komponenten von \(\Phi'\) betragsmäßig abschätzen, beachte, dass dies nur für Punkte aus dem Definitionsbereich benötigt wird.

Dann muss Du Dich für eine Norm entscheiden und L bestimmen - mit Hilfe der zur Norm gehörenden Matrizen-Norm .....

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Ok, danke.
Ist mit "Komponenten von Φ' betragsmäßig abschätzen" gemeint, dass ich sagen kann
a1,1 = -1/8x2·sin(1/8x1·x2) ≤ 1/8
a1,2 = -1/8x1·sin(1/8x1·x2) ≤ 1/8
a2,1 = 1/6·cos(1/6(x1+x2)) ≤ 1/6
a2,2 = 1/6·cos(1/6(x1+x2)) ≤ 1/6

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Ja, das ist gemeint

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Schreibst aber besser noch den Betrag dabei, etwa

|a1,1 |= |-1/8x2·sin(1/8x1·x2)| ≤ 1/8

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Und kann ich jetzt als Norm die p-Norm wählen für p=1 ?
Dann würde sich ja ergeben :

L = sup ||Φ'(x)|| = |1/8| + |1/8| + |1/6| + |1/6| = 7/12 < 1

Also habe ich mein L gefunden mit L = 7/12 ?

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Wenn Du die 1-Norm wählst, dann ist die zugehörige Matrizennorm die sog. Spaltensummen Norm.

Answer 1

Na ja, so macht die Sache doch wirklich Sinn.

Comments

Vielen lieben Dank für die Unterstützung und die Geduld !