. Eine Polynomfunktion f : R → R, y = ax4 +bx3 +cx2 −9x−8 hat an der Stelle

Question

Aufgabe:

Eine Polynomfunktion f : R → R, y = ax^4 +bx^3 +cx^2 −9x−8 hat an der Stelle x = −2
einen Wendepunkt mit der Wendetangente tw : x−y = −4.
Geben Sie den Funktionsterm von f an!

Problem/Ansatz:

Muss ich die 2. Ableitung bestimmen?

Answer 1

Aloha :)

Die gesuchte Funktion hat die Form:$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2-9x-8$$$$f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx-9$$$$f''(x)=12ax^2+6bx+2c$$Sie hat 3 Unbekannte, also brauchen wir 3 Bedingungen.

(1) Bei \(x=-2\) liegt ein Wendepunkt\(\quad\implies\quad \underline{\underline{f''(-2)=0}}\)

(2) Die Gleichung für die Wendetangente im Punkt \((-2|f(-2))\) formen wir um:$$t_w(x)=x+4$$Sie ist gleich der Tangente an den Graphen im Punkt \((-2|f(-2))\):$$t_w(x)=f(-2)+f'(-2)\cdot(x-(-2))=\underbrace{f'(-2)}_{\stackrel!=1}\cdot x+\underbrace{f(-2)+\overbrace{2f'(-2)}^{=2\cdot1=2}}_{\stackrel!=4}$$Durch Vergleich beider Darstellungen erhalten wir zwei weitere Bedingungen:$$\underline{\underline{f'(-2)=1\quad;\quad f(-2)=2}}$$

Damit können wir 3 Bestimmungsgleichungen für die Parameter \(a,b,c\) aufstellen:$$0=f''(-2)=48a-12b+2c\implies24a-6b+c=0$$$$1=f'(-2)=-32a+12b-4c-9\implies32a-12b+4c=-10$$$$2=f(-2)=16a-8b+4c+10\implies4a-2b+1c=-2$$

Dieses Gleichungssystem ist eindeutig lösbar:\(\quad a=1\;;\;b=\frac92\;;\;c=3\)

Die gesuchte Funktion lautet daher:$$\boxed{f(x)=x^4+\frac{9}{2}x^3+3x^2-9x-8}$$

~plot~ x^4+9/2*x^3+3x^2-9x-8 ; {-2|2} ; x+4 ; [[-12|12|-12|6]] ~plot~

Answer 2

Ja, du musst die zweite Ableitung bestimmen.

Answer 3

 "Eine Polynomfunktion f : R → R, \(y = ax^4 +bx^3 +cx^2 −9x−8\) hat an der Stelle x = −2
einen Wendepunkt mit der Wendetangente \(tw : x−y = −4\).
Geben Sie den Funktionsterm von f an!"

\(y = ax^4 +bx^3 +cx^2 −9x−8\)

\( -2−y = −4→y=2\)   → \(W(-2|2)\)

\(y(-2) =16a -8b +4c +18−8=16a -8b +4c +10\)    \(16a -8b +4c +10=2\)

→1.)   \(4a -2b +c =-2\)

\(y´ = 4ax^3+3bx^2 +2cx −9\)

\(y´(-2) = -32a+12b -4c −9\)   →  \( -32a+12b -4c −9=1\)

→ 2.) \( -16a+6b -2c =5\)

Wendepunkt → 2. Ableitung:

\(y´´ = 12ax^2+6bx+2c\)

\(y´´(-2) = 48a-12b+2c\) 

→3.)     24a-6b+c=0