Aufgabe: Bestimmen Sie eine Basis des durch die Losungen der Gleichung
x1 + x2 + x3 - x4 = 0
aufgespannten Unterraumes U in R4.
Problem/Ansatz:
Wie bestimme ich den span{...} hier durch ablesen?
Ich weiß nicht, wie man auf die Lösung: U = span{ \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\-1\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-1\\0 \end{pmatrix} \) } kommt.
LG
Wäre dann für folgende Gleichung: x1 - x2 -x3 + x4 = 0 folgender span richtig?
U = span{ { \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \), { \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\1 \end{pmatrix} \), { \( \begin{pmatrix} -1\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \) ?
Ich habe folgende Fragen: 1.
Ist es egal, wie die Vektoren im Span aussehen, hauptsache die Gleichung ergibt 0? Oder müssen sie linear unabhängig voneinander sein?
2. Wieso nur 3 Vektoren, und nicht 4, wenn es 4 Variablen gibt?
3. Wie gehe ich am besten vor, um diese Vektoren zu bestimmen? Was muss ich beachten?
4. Weil es eine Basis ist, müssen die Vektoren orthogonal zueinander sein? Ne, oder? Ist ja keine Orthogonalbasis? Und weiter noch: Oben bei der ersten Gleichung die Lösung, da kommt zwischen dem zweiten und dritten Vektor ja auch nicht bei Multiplikation 0 raus, also kann das ja nicht sein.
