Wie wandelt man Spartprodukt zur Determinante um?

Question

Aufgabe:

Es soll gezeigt werden, dass das Spatprodukt aus den Vektoren [a,b,c] = (a,b x c) auch als dreihreihige Determinante darstellen lässt: [a,b,c] = \( \begin{pmatrix} ax & ay & az \\bx & by & bz  \\ cx & cy & cz \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Wie macht man das?

Answer 1

Wohl eher so:

\( \begin{pmatrix} a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{pmatrix} \)

Es sind die x,y,z -Koordinaten von a bzw. b und c gemeint.

Rechne beides aus und zeige, dass das gleiche Ergebnis herauskommt.

\(( \vec{a}, \vec{b}x\vec{c}) \)

\( =( \vec{a}, \begin{pmatrix} b_y*c_z-b_z*c_y \\b_z*c_x-b_x*c_z \\ b_x*c_y-b_y*c_z \end{pmatrix} )\)  

\( =  a_x*( b_y*c_z-b_z*c_y) +a_y*(b_z*c_x-b_x*c_z ) +a_z*( b_x*c_y-b_y*c_z )\) 

Und das ist auch das Ergebnis der Det.