Wie bestimmt man mit Cramerschen Regel Punkt einer Basis?

Question

Aufgabe:

v₁ = \( \begin{pmatrix} 6\\4\\1 \end{pmatrix} \), v₂ = \( \begin{pmatrix} 8\\7\\2 \end{pmatrix} \), v₃ = \( \begin{pmatrix} 3\\3\\1 \end{pmatrix} \)

Die Menge U = {v₁ v₂ v₃} ist eine Basis des Raums im \( ℝ^{3} \)

Es soll mithilfe der Cramerschen Regel die Koordinaten des Punktes P (1,0,0) bezüglich der Basis U bestimmt werden

Problem/Ansatz:

Wie muss man hier vorgehen?

Answer 1

Aloha :)

wir suchen eine Linearkombination der 3 Vektoren \(\vec v_1\), \(\vec v_2\), \(\vec v_3\) für den Ortsvektor \(\vec p\):$$\begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix}a+\begin{pmatrix}8\\7\\2\end{pmatrix}b+\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}c=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$

Mit der Cramerschen Regel gilt:$$a=\frac{\begin{vmatrix}1 & 8 & 3\\0 & 7 & 3\\0 & 2 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}6 & 8 & 3\\4 & 7 & 3\\1 & 2 & 1\end{vmatrix}}\quad;\quad b=\frac{\begin{vmatrix}6 & 1 & 3\\4 & 0 & 3\\1 & 0 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}6 & 8 & 3\\4 & 7 & 3\\1 & 2 & 1\end{vmatrix}}\quad;\quad c=\frac{\begin{vmatrix}6 & 8 & 1\\4 & 7 & 0\\1 & 2 & 0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}6 & 8 & 3\\4 & 7 & 3\\1 & 2 & 1\end{vmatrix}}$$Die Determinante in den Zählern lassen sich schnell nach der Spalte mit den beiden Nullen entwickeln. Die Determinante im Nenner ist für alle 3 Brüche gleich:$$\begin{vmatrix}6 & 8 & 3\\4 & 7 & 3\\1 & 2 & 1\end{vmatrix}=6\cdot(7-6)-4\cdot(8-6)+1\cdot(24-21)=6-8+3=1$$Damit erhalten wir:$$a=7-6=1\quad;\quad b=-(4-3)=-1\quad;\quad c=8-7=1$$

Answer 2

Löse die Gleichung \(x\cdot v_1 + y\cdot v_2 + z\cdot v_3 = \vec{OP}\).