Ordnung mit ggT berechnen

Question

folgende Aufgabe:

gezeigt werden soll: ordnung(g) = k/ggT(g,k).

Dabei soll beachtet werden, dass k eine ganze Zahl ist, g element von Z/kZ ist und ggT(0,k) = k gilt.

Ich weiß leider nicht wie ich das beweisen soll. Habe es mit Induktion versucht, hat aber nicht geklappt.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen würde.

Answer 1

Zur Erinnerung: Es gilt

\(\begin{aligned} \operatorname{gcd}(\mathrm{n}, \mathrm{m})=\frac{\mathrm{nm}}{\operatorname{lcm}(\mathrm{n}, \mathrm{m})}\end{aligned} \)

Und \( \operatorname{ord}(g)=n \) bedeutet, dass \( n \) die kleinste natürliche Zahl ist, mit \( n g \equiv_{k} 0 \). Wir suchen also jenes \( n \in \mathbb{N} \), für welches
\(\begin{aligned} \mathrm{ng}=\operatorname{lcm}(\mathrm{g}, \mathrm{k})\end{aligned} \)
gilt, da \( \operatorname{lcm}(g, k) \) per Definition die kleinste nichtnegative natürliche Zahl ist, für welche \( \operatorname{lcm}(g, k) \equiv_{k} 0 \) gilt. Also ist
\(\begin{aligned} \operatorname{ord}(g)=n, \quad n=\frac{\operatorname{lcm}(g, k)}{g}=\frac{g k / \operatorname{gcd}(g, k)}{g}=\frac{k}{\operatorname{gcd}(g, k)}\end{aligned} \)
mithilfe der obigen Identität.